Optimal control of rate-independent systems with non-convex energies via viscous approximation
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Date
2025
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Abstract
In dieser Dissertation befassen wir uns mit ratenunabhängigen Systemen im Kontext der optimalen Steuerung. Genauer gesagt untersuchen wir ein Optimalsteuerungsproblem, dessen Steuerungsvariable durch eine äußere Last gegeben ist und der entsprechende Zustand ergibt sich als Lösung des zu dieser Last gehörenden ratenunabhängigen Systems.
Wir starten im zweiten Kapitel mit einer kurzen Übersicht über die verschiedenen Lösungskonzepte für solche ratenunabhängigen Systeme, aber fokussieren uns dabei auf den Begriff der sogenannten parametrized balanced viscosity Lösungen, da diese das zugrundeliegende Lösungskonzept bilden, welches wir verwenden. Wir zeigen im dritten Kapitel ausführlich die Existenz solcher Lösungen unter geeigneten Annahmen mittels des Ansatzes der verschwindenden viskosen Regularisierung. Die Existenz einer eindeutigen Lösung des viskos regularisierten Systems zeigen wir zuvor mit Zuhilfenahme einer weiteren Regularisierung.
Im vierten Kapitel widmen wir uns dann der optimalen Steuerung ratenunabhängiger Systeme und klären zuerst die Lösbarkeit eines dafür prototypischen Problems. Des Weiteren approximieren wir dieses Optimalsteuerungsproblem durch eine Folge von einfacheren Problemen, indem wir jeweils die zulässige Menge durch Lösungen des regularisierten Systems ersetzen und den Regularisierungsparameter gegen Null gehen lassen. Dazu weisen wir die Lösbarkeit dieser regularisierten Optimalsteuerungsprobleme nach und konstruieren ausgehend von einer Lösung des Ausgangsproblems eine Folge zulässiger Punkte für die regularisierten Probleme mit geeigneten Konvergenzeigenschaften, um die gewünschte Approximationseigenschaft zu zeigen. Zu guter Letzt schauen wir uns im fünften Kapitel noch den Fall an, dass die äußeren Kräfte unstetig sind. Anhand von expliziten Beispielen zeigen wir, dass die bisherigen Lösungsbegriffe nicht geeignet sind im Kontext der optimalen Steuerung mit unstetigen Kräften, da der schwache/punktweise Grenzwert solcher Lösungen selbst keine Lösung bildet. Um dieses Problem zu umgehen, konstruieren wir das Lösungskonzept der relaxierten Lösungen und veranschaulichen deren Vor- und Nachteile und vergleichen sie mit anderen Lösungsbegriffen.
Description
Table of contents
Keywords
Optimale Steuerung, Ratenunabhängige Systeme
Subjects based on RSWK
Optimale Kontrolle, Nichtkonvexe Optimierung, Viskositätslösung, Regularisierung