Lehrstuhl X Wissenschaftliches Rechnen

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http://hdl.handle.net/2003/38234

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A quadratic regularization of optimal transport problems and its application to bilevel optimization
(2023) Hillbrecht, Sebastian; Meyer, Christian; Lorenz, Dirk
This thesis consists of two parts, in each of which a quadratic regularization is applied to an optimal transport problem and its effect on a prototypical bilevel optimization problem is investigated. In the first part, we use the mentioned quadratic regularization in combination with a smoothing of the marginals to improve certain properties of the well-known Kantorovich problem, which is a linear optimization problem defined on infinite-dimensional spaces. In this way we obtain, for example, the uniqueness of the optimal solution and an associated optimality system containing (non-unique) dual variables. We then use these improved properties of the problem to regularize a bilevel optimization problem whose constraints require to solve the Kantorovich problem. We then show that the regularized bilevel problem has a solution and that we can, under certain conditions, approximate solutions of the non-regularized bilevel problem by solutions of the regularized one. We conclude the first part with a brief overview of possible applications of this regularization approach. In the second part, we apply the same regularization approach to the also well-known Hitchcock problem, which we introduce as a finite-dimensional special case of the Kantorovich problem. Due to the structure of this problem, however, we can dispense with the additional smoothing of the boundary conditions. Similar to the first part, we regularize a bilevel problem whose constraints require the solution of the Hitchcock problem. We again show the existence of solutions to the regularized bilevel problem and that we can use this to approximate solutions to the non-regularized bilevel problem, in certain cases. By introducing a further regularization of the Lagrangian dual problem, we enforce the uniqueness of the dual variables from the optimality system. This enables us to calculate derivatives of the marginal-to-transportplan mapping and, in turn, to establish an implicit programming approach for the solution of the regularized bilevel problem. To conclude the second part, we test our findings numerically by means of an transportation identification problem.
Adaptive unstetige Finite Elemente Methoden für elastoplastische Kontaktprobleme
(2020) Taebi, Korosh; Rademacher, Andreas; Blum, Heribert
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Modellierung und effizienten Simulation des elastoplastischen Kontaktproblems mit Hilfe von unstetigen Galerkin Methoden. Zur Bestimmung einer approximativen Lösung dieses Problems im Rahmen der Finiten Elemente Methode werden für die Diskretisierung die SIPG bzw. IIPG Methode in Betracht gezogen und entsprechende biorthogonale Ansatzfunktionen für die duale Variable verwendet. Die Lösung des sich daraus ergebenden Systems mit Ungleichheitsnebenbedingungen erfolgt mit einem semiglatten Newtonverfahren. Um die Effizienz des Lösungsalgorithmus zu steigern, werden residuale Fehlerschätzer hergeleitet und für eine lokale Verfeinerung des Netzes verwendet. Die dabei zu erwartende Ordnung der Reduktion des Diskretisierungsfehlers nach jedem Verfeinerungsschritt wird anhand von Beispielsimulationen beobachtet und abschließend eine simultane Nutzung von stetigen und unstetigen Ansatzfunktionen sowie eine Methode zur Netzauftrennung vorgestellt.
Convergence of an adaptive discontinuous Galerkin method for the Biharmonic problem
(2020) Dominicus, Alexander; Kreuzer, Christian; Georgoulis, Emmanuil H.
In this thesis we develop a basic convergence result for an adaptive symmetric interior penalty discontinuous Galerkin discretisation for the Biharmonic problem which provides convergence without rates for arbitrary polynomial degree r≥2, all practically relevant marking strategies and all penalty parameters assuring coercivity of the method. We have to deal with the problem that the spaces consisting of piecewise polynomial functions may possibly contain no proper C^1-conforming subspace. This prevents from a straightforward generalisation of convergence results of adaptive discontinuous Galerkin methods for elliptic PDEs and requires the development of some new key technical tools. The convergence analysis is based on several embedding properties of (broken) Sobolev and BV spaces, and the construction of a suitable limit space of the non-conforming discrete spaces, created by the adaptive algorithm. Finally, the convergence result is validated through a number of numerical experiments.
Optimal control of plasticity systems
(2020) Walther, Stephan; Meyer, Christian; Wachsmuth, Gerd
The thesis is concerned with an optimal control problem with an evolution variational inequality (EVI), involving a maximal monotone operator, as a constraint. This abstract setting can be applied to various cases of elasto plasticity. It is shown that elasto and homogenized plasticity, elasto plasticity with an inertia term and also perfect plasticity can be transformed into a certain EVI. Such an EVI is analyzed in the context of optimal control. Then optimal control problems for each of the mentioned plasticity systems are considered, where the findings in the abstract case are either directly applied (elasto and homogenized plasticity and partly elasto plasticity with an inertia term) or at least partially used (perfect plasticity). In each case, the existence of a global solution to the corresponding optimal control problem is shown. The state equations, and thus the control problems, are then regularized and results regarding approximation of global minimizers by global minimizers of the regularized problems are proved. For the optimal control problem, constrained by the abstract EVI, first and second order optimality conditions are derived, whereas only first order conditions are investigated for optimal control problems governed by plasticity systems. A certain difficulty arises in the case of perfect plasticity due to the non-uniqueness of the displacement and the fact that it is only of bounded deformation. This is the main reason for restricting the optimal control problem to the stress as the only state variable when it comes to optimality conditions. Moreover, for this case numerical experiments are presented. The finite element toolbox FEniCS was used to solve the involved partial differential equations.
A numerical scheme for rate-independent systems: analysis and realization
(2020) Sievers, Michael; Meyer, Christian; Knees, Dorothee
Many materials in the field of continuum mechanics can be considered, at least in parts, as rate-independent. Such systems are generally driven by external forces and thereby independent of their speed (rate) but still dependent on their direction. In this dissertation, we consider rate-independent systems which can be described by means of a, in general, nonconvex energy and a positively homogeneous dissipation. Both properties in combination allow the formation of abrupt changes in state, even if the external forces evolve smoothly. Mathematically speaking, this means that temporal discontinuities (jumps) may develop. In order to be able to reflect such phenomena, suitable (weak) notions of solutions are required. The first section of this dissertation is therefore devoted to the presentation of precisely such solution concepts and their interrelationship. In addition to the energetic solutions, which are by now widely known and analyzed, we particularly focus on the so-called parametrized solutions, the main concept within this thesis. In the second section of this work, we analyze a scheme that provides a discretization in time and space based on the well-known local incremental minimization scheme. The main difference compared to the latter one is that, instead of solving a minimization problem, only stationary points have to be determined here. This scheme - referred to as local incremental stationarity scheme (LISS) - is therefore well suited for numerical methods. Beyond this practical applicability, the convergence analysis for LISS also provides the existence of parametrized solutions, even in the case of an unbounded dissipation. Therefore, the local incremental stationarity scheme can also be used to approximate unidirectional processes, such as those that occur in damage models for example. In the third section of this work, we then deal with a priori error estimates for LISS, whereby we do not incorporate the discretization in space here. A crucial assumption in this context is the uniform convexity of the energy. Without this, solutions are, in general, not unique and not continuous, so that convergence rates are not to be expected in this case. With sufficient convexity assumptions, on the other hand, we derive convergence rates of the order Ο(√τ) for a general setting and of the order Ο(τ) in case of a semilinear energy. We also extend the latter result to the so-called locally convex case, in which the solution trajectory remains in an area of uniform convexity of the energy. The last section, finally, is devoted to the presentation of a possible realization of the introduced approximation scheme LISS and to visualize the numerical results. In particular, we provide several examples that illustrate the theoretical findings of the preceding sections.
Adaptive Finite-Elemente-Methoden für thermoplastische Kontaktprobleme
(2020) Heupel, Ullrich Ralf Friedrich-Wilhelm; Rademacher, Andreas; Blum, Heribert
In der vorliegenden Arbeit wird, basierend auf der Finiten-Elemente-Methode, ein numerisches Verfahren zur Lösung von dynamischen, thermomechanisch gekoppelten, elastoplastischen und reibungsbehafteten Kontaktproblemen entwickelt. In dem betrachteten Modellproblem werden die linearisierte Kontaktbedingungen und Verzerrungen verwendet, jedoch wird für die plastische Verzerrung sowohl kinematische als auch isotropische Verfestigung berücksichtigt. Als Reibgrenze werden allgemeine Reibgesetze zugelassen, die von allen modellierten Größen abhängig sein können. Das Problem wird durch eine gemischte Finite-Elemente-Methode mit Lagrangemultiplikatoren behandelt. Um die numerischen Störungen der Gesamtenergie klein zu halten, wird für die Zeitdiskretisierung ein verbessertes kontaktstabilisiertes Newmark-Verfahren verwendet. Dies wird gewählt, da es Oszillationen im Kontaktbereich verhindert und energiedissipativ ist. Zur Diskretisierung im Ort wird eine Finite-Elemente-Ansatz basierend auf Mortar-Basisfunktionen für die Lagrangemultiplikatoren angewendet. Durch geschickte Wahl der Ansatzräume werden die Nebenbedingungen in knoten-/elementweise Bedingungen überführt. Daraus kann mit NCP-Funktionen und einem semiglatten Newtonverfahren insgesamt eine aktive Mengen Strategie in jedem Zeitschritt hergeleitet werden. Mit statischem Kondensieren kann die Größe der zu lösenden Gleichungssysteme stark verringert werden, so dass nur lineare Gleichungssysteme für Verschiebung und Wärme gelöst werden müssen. In den numerischen Beispielen werden verschiedene Aspekte des entwickelten Lösungsverfahren betrachtet. Dabei wird die Energiebilanz aufgestellt, bei der zwar ein kleiner Anteil der Energie durch numerische Effekte verloren geht, aber sonst keine unphysikalischen Energieänderungen auftreten. Außerdem werden für den statischen Fall Parameterstudien durchgeführt und das für Aktive-Mengen-Strategien typische Konvergenzverhalten untersucht. Es wird auch die effiziente Anwendbarkeit bei biaktiven Mengen demonstriert. Im zweiten Teil wird ein zielorientierter a-posteriori DWR-Fehlerschätzer für eine allgemeine Problemstellungen mit NCP-Funktionen konstruiert. Im Rahmen der DWR-Methode werden Fehleridentitäten für möglicherweise nichtlineare Zielfunktionale, die Abhängigkeiten von allen vorhandenen Größen aufweisen können, bestimmt. In diesen Fehleridentitäten kommen jedoch die unbekannten analytischen Lösungen vor. Mithilfe von patchweisen Interpolierenden werden diese ersetzt und numerisch auswertbare Fehlerschätzer abgeleitet werden. Damit wird ein h-adaptives Verfahren realisiert. In den numerischen Beispielen kann die Effektivität der Fehlerschätzer und die Effizienz des Lösungsverfahrens für verschiedene statische Probleme belegt werden. Im Gegensatz zu uniformen Verfeinerungen wurde die optimale Konvergenzgeschwindigkeit erreicht.
Ein allgemeines Konzept für adaptive Finite Elemente Methoden bei modiﬁzierten diskreten Formulierungen
(2020) Kumor, Dustin; Rademacher, Andreas; Blum, Heribert
Im Rahmen dieser Arbeit wird das Konzept der adaptiven Finite Elemente Methode für Problemstellungen mit einer modifizierten diskreten Formulierung betrachtet. Die Hauptaufgabe besteht darin, die zugrundeliegenden a posteriori Fehlerschätzer hinsichtlich der geänderten Ausgangssituation zu adaptieren. Im Zuge dessen werden Fehleridentitäten bezüglich einer benutzerdefinierten Zielgröße sowohl für den Diskretisierungs- als auch für den Modellfehler hergeleitet. Die verwendete Technik der dual gewichteten Residuen (DWR) erlaubt es hierbei einen allgemeinen Ansatz zu entwickeln, der auch nichtlineare Problemstellungen und Zielgrößen berücksichtigt. Das hier vorgestelte Resultat verallgemeinert eine bereits hergeleitete Identität für den Diskretisierungsfehler im Rahmen diskreter Stabilisierungstechniken dahingehend, dass ein größeres Spektrum an diskreten Modifikationen zugelassen wird. Zudem bleibt die ansonsten geforderte Konsistenzbedingung an die kontinuierliche Lösung des Problems bei der entwickelten Fehleridentität unberücksichtigt. Neben den standardmäßig vorhandenen Anteilen der Fehleridentität komplettieren Zusatzterme die Fehlerdarstellung im Falle einer modifizierten diskreten Formulierung. Im Hinblick auf modelladaptive Verfahren wird der Begriff des Modells gemäß der zugrundeliegenden Ausgangssituation mit den unterschiedlichen, vorliegenden Diskretisierungen identifiziert, sodass der Modellfehler, anders als für gewöhnlich, nur auf diskreter Ebene agiert. Die hergeleitete Fehleridentität liefert demnach ein Maß für die Differenz zweier Lösungen zu unterschiedlichen Diskretisierungen gemessen in einer benutzerdefinierten Zielgröße und bietet die Grundlage für die Entwicklung entsprechender a posteriori Fehlerschätzer für den Modellfehler. Die Funktionalität der entwickelten Fehlerschätzer, sowohl für den Diskretisierungs- als auch für den Modellfehler, wird anschließend durch die Verwendung im Rahmen eines modell- und netzadaptiven Algorithmus für unterschiedliche numerische Beispiele aus dem Bereich der Strukturmechanik belegt.
Sensitivity analysis of elliptic variational inequalities of the first and the second kind
(2018) Christof, Constantin; Meyer, Christian; Brokate, Martin
This thesis is concerned with the differential sensitivity analysis of elliptic variational inequalities of the first and the second kind in finite and infinite dimensions. We develop a general theory that provides a sharp criterion for the Hadamard directional differentiability of the solution operator to an elliptic variational inequality and introduce several tools that facilitate the sensitivity analysis in practical applications. Our analysis is accompanied by examples from mechanics and fluid dynamics that illustrate the strengths and limitations of the obtained results. We further establish strong and Bouligand stationarity conditions for optimal control problems governed by elliptic variational inequalities in a general setting that covers, e.g., the situations where the control-to-state mapping is a metric projection or a non-smooth elliptic partial differential equation.
Eine hierarchische Modellierung der Thermoelastoplastizität und nicht-lokalen Schädigung mit adaptiver Modellwahl
(2015) Große-Wöhrmann, André; Blum, Heribert; Menzel, Andreas
Analysis and optimal control of a damage model with penalty
(2017) Susu, Livia-Mihaela; Meyer, Christian; Knees, Dorothee
A viscous damage model including two damage variables - a local and a nonlocal one - coupled through a penalty term is investigated on three different levels: unique solvability, behaviour as the penalization parameter approaches ∞ and optimal control. Existence, uniqueness and regularity of the solutions are proven. In particular, we give an improved result regarding spacial regularity of the nonlocal damage. Lipschitz continuity as well as Fréchet-differentiability of the solution operators are established. We also analyse the behaviour for penalty parameter tending to ∞ of the considered damage model. It turns out that in the limit both damage variables coincide and satisfy a classical viscous damage model. Moreover, we find L∞ bounds for the penalized damage variables and their limit. Further, an optimal control problem governed by the damage model with penalty is considered, where the applied force is used as control. In this context, we derive necessary optimality conditions for a local optimum. As the associated control-to-state operator is not Gâteaux differentiable, standard adjoint calculus cannot be employed for deriving an optimality system. This was however possible under the strict complementarity assumption.
Optimale Steuerung der relativistischen Maxwell-Newton-Lorentz Gleichungen
(2015) Thoma, Oliver; Meyer, Christian; Yousept, Irwin
In various scientific fields problems appear, which can be solved by the optimal control theory. Optimal control problems can be found for example in fields like robotics, fluid mechanics and aeronautics. For modeling these phenomenas we of- ten use ordinary partial differential equations, so that the optimal control of the upcoming systems plays an important role in the optimization community. For describing the whole range of arising natural phenomenas also partial differential equations are often necessary. Hence, coupled systems of both mentioned differential equations types and their optimal control are worth deeper research. Moreover there are often natural conditions, which imply state und control constraints. The- se constraints have to be treated very carefully. The existence of a control, which affects on the state, underlies the optimal control problem. This state is given by the above described differential equations. This PhD thesis deals with a phenomena from classical electrodynamics. The following presented equations model the movement of electrical charges in electromagnetic, time varying fields. These described variables, the position, momentum of charges and the electric and magnetic fields, will be the states of our problem. As a control we will choose an external magnetic field. Our investigation is focused on the hyperbolic, time varying Maxwell’s equations and the nonlinear, relativistic Newton Lorentz equations. Additional control constraints are incorporated by introducing a scalar magnetic potential which leads to an additional state equation in form of a very weak elliptic PDE. We now give a short overview of the achieved results. The thesis can be divided into two main parts: 1. The first part of the work is dedicated to the underlying physical model and the analytical investigation of the arising, coupled state system. We prove existence of a solution of the system and set up the exact formulation of the optimal control problem. After showing existence of an optimal solution, we derive and prove first order optimality conditions, to be more precise we formulate the Karush-Kuhn-Tucker conditions. We do this by detailed description of KKT theory. Moreover the adjoint system will be discussed. 2. In the second part we focus on the numerical treatment of the optimal control problem. We take a look at the critical aspects of the discretization and show ways to come around the difficulties. Furthermore we look closer at the time discretization scheme. Moreover we present our implemented, globalized BFGS-Interior-Point method for solving the reduced optimization problem. Finally we test our numerical implementation on different examples. The demonstration of executability of the program has priority. The results are studied and analyzed carefully. A main focus in our implementation is the utilization of an automatic differentiation tool. Therefore we take a closer look at this technique. This PhD thesis gives a treatise on optimal control of the non-steady stated, relativistic Maxwell Newton Lorentz equations. It should be seen as an overall discussion of the arising system from the analytical point of view as well as from the numerical angle.
Optimal control of two variational inequalities arising in solid mechanics
(2015) Betz, Thomas; Meyer, Christian; Herzog, Roland
The optimal control of the static model of infinitesimal elastoplasticity with linear kinematic hardening and the optimal control of Signorini’s problem are considered. We are thus concerned with two optimal control problems governed by an elliptic variational inequality of the first kind. Solution operators associated with variational inequalities are in general not Gâteaux differentiable. The same applies in our case so that the classical optimal control theory cannot be employed. However, under additional regularity assumptions the elastoplasticity operator is shown to be Bouligand differentiable. This enables us to establish second-order sufficient optimality conditions for the optimal control of static elastoplasticity based on a Taylor expansion of a particularly chosen Lagrange function. Moreover, by extending Riesz’ representation theorem to positive functionals f∈H 1 (Ω)' and adapting the ideas of Mignot ’76 we prove that the solution operator of the Signorini problem is directionally differentiable. Subsequently we derive first-order necessary optimality conditions of strong stationary type for the optimal control of Signorini’s problem. The results on the optimal control of static elastoplasticity have been published in large part in the journal ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations 21(1), pp. 271-300, 2015.
Numerische Methoden zur Lösung von Multiskalenproblemen
(2012-09-12) Freese, Alexander; Blum, Heribert; Stiemer, Marcus
In dieser Arbeit werden numerische Methoden zur Behandlung von Multiskalenproblemen untersucht und verglichen. Zunächst wird auf deren praktische Bedeutung und auf heuristische Lösungsmethoden eingegangen. Mit der Multiskalen Finite Elemente Methode (MsFEM) wird eine häufig verwandte Methode präsentiert und im Detail analysiert. Durch die Einführung der Homogenisierungstheorie und Zusammenfassung der wichtigsten Resultate wird die numerische Homogenisierung präsentiert und mit der MsFEM verglichen. Zum Arbeiten mit adaptiven Finiten Elementen wird ein passender lokaler Fehlerschätzer konstruiert. In einem weiteren Kapitel wird ein für das Arbeiten mit der Methode nützlicher Gittergenerator präsentiert und zur Verfeinerung mittels r-Adaptivität genutzt. Die gewonnenen Erkenntnisse werden anschließend an einem realistischen Beispiel demonstriert.
Adaptive FEM für Mehrkörperkontaktprobleme
(2011-09-28) Kleemann, Heiko; Blum, Heribert; Schröder, Andreas
In dieser Arbeit werden Methoden zur FEM-Simulation von Kontkatproblemen zwischen elastischen Körpern beschrieben. Ausgehend von der zugrundeliegenden Problemstellung werden geeignete Lösungsansätze entwickelt und Diskretisierungsräume vorgestellt, die auf einer gemischten Formulierung beruhen. Die geometrischen Kontaktbedingungen und die Reibungsbedingungen werden so durch Lagrange Multiplikatoren beschrieben. Es werden zunächst Stabilitäts- und Konvergenzuntersuchungen für statische Probleme vorgenommen, um die vorgestellten Diskretisierungen zu überprüfen. Anschliessend werden diese Ansätze auf dynamische Probleme übertragen. Ein besonderer Augenmerk liegt in der Implementierbarkeit der Verfahren auch für 3d Anwendungen mit komplexen Kontaktbedingungen. Hier bietet die verwendete gemischte Formulierung einen brauchbaren Ansatz zur Realisierung der Kontaktbedingungen. Im 2. Teil der Arbeit liegt der Fokus auf adaptiven finite Elemente Methoden. Es werden a posteriori Fehlerschätzer für Kontaktprobleme entwickelt. Dies geschieht einerseits durch Modifikation von residualen Fehlerschätzern, anderseits wird die dual gewichtete Methode (DWR) verwendet, um Fehlerschätzer für lokale, beliebig definierbare Zielgrößen zu erhalten.
Adaptive finite element methods for nonlinear hyperbolic problems of second order
(2010-05-18T12:36:06Z) Rademacher, Andreas; Blum, Heribert; Schröder, Andreas
Theorie und Numerik zur freien Designoptimierung mechanischer Strukturen
(2008-04-15T11:14:21Z) Grönewäller, Sven; Achtziger, W.; Blum, H.
In dieser Arbeit untersuchen wir das Minimum-Compliance-Problem in relaxierter Form. Gesucht ist ein elastischer Körper mit minimaler Nachgiebigkeit unter vorgegebener Belastung. Der Designvariable ist es erlaubt, Nullwerte anzunehmen. Es werden Optimalitätsbedingungen formuliert, mit deren Hilfe die starke Konvergenz einer Folge von FE-Designvariablen auf einem Teilgebiet gegen die eindeutige Lösung des kontinuierlichen Problems in L1 gezeigt werden kann. Diese Teilgebiete werden anhand ausgewählter Beispiele graphisch dargestellt. Des Weiteren betrachten wir das relaxierte Minimum-Compliance-Problem, in dem Löcher in der Struktur nicht zugelassen sind. Die Abhängigkeit der Verschiebungsfunktion von einer positiven unteren Schranke e > 0 für die Designvariable wird untersucht. Es kann die Konvergenz einer Folge von FE-Verschiebungsfunktionen unter gewissen Voraussetzungen für kleiner werdende untere Schranke e -> 0 gezeigt werden.
Finite-Elemente-Diskretisierungen für dynamische Probleme mit Kontakt
(2006-10-16T13:07:24Z) Rademacher, Andreas
Fehlerkontrollierte adaptive h- und hp-Finite-Elemente-Methoden für Kontaktprobleme mit Anwendungen in der Fertigungstechnik
(2006-06-21T12:42:52Z) Schröder, Andreas; Blum, Heribert; Suttmeier, Franz-Theo
Warmstart-Strategien in der parametrisierten Optimierung mit Anwendung in der multikriteriellen Optimierung
(2006-01-25T13:30:13Z) Heseler, Andree; Fliege, Jörg; Jahn, Johannes; Achtziger, Wolfgang

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