A-Optimalität für den Vergleich mit einer Kontrolle bei Crossover-Designs
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Date
2010-09-14
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Abstract
Die konkrete und detaillierte Planung von Experimenten zur effizienten Datengewinnung nimmt
eine zentrale Rolle innerhalb der modernen Statistik ein. Durch die Verwendung effizienter Versuchspläne
lassen sich Kosten- und Zeitaufwand eines Experiments bei gleichzeitiger Steigerung
der Datenqualität verringern. Leider stellt sich die Konstruktion effizienter Designs für komplexe
Blockmodelle als schwierige Aufgabe dar. Da kleine Änderungen am Design zu nicht-stetigen
Änderungen im Wert der standardmäßig verwendeten Optimalitätskriterien führen, ist aus mathematischer
Sicht hier die Lösung eines diskreten Optimierungsproblems notwendig. Eine erstmals
von Kushner (1997) vorgestellte Methode überträgt dieses diskrete Optimierungsproblem
in ein stetiges, konvexes Minimerungsproblem und leitet daraus eine potentiell scharfe Schranke
für das zugrundeliegende Optimalitätskriterium ab.
In der vorliegenden Dissertation überprüfen wir die Übertragbarkeit des Kushner-Ansatzes auf
komplexe Modelle am Beispiel eines Crossover-Modells mit Carryover-Effekten für den Vergleich
mit einer Kontrolle, sowie einer zirkulären Version dieses Modells. Bei Verwendung dieser Modelle
sind die aus dem Kushner-Ansatz resultierenden Funktionen jedoch nicht länger konvex.
Dies führt zu Problemen bei der analytischen Lösung des nun nicht mehr konvexen Minimierungsproblems.
Für das nicht-zirkuläre Modell gelingt uns daher lediglich für Designs mit p = 3
Perioden und t >= 3 Testbehandlungen die analytische Bestimmung dieses globalen Minimums.
Die resultierende Schranke l* ist potentiell scharf und für alle t besser als der Wert einer bereits
bekannten, naïven Schranke aus dem einfachen Blockmodell. Für p >= 4 Perioden scheitert die Bestimmung
des globalen Minimums an der komplexen Gestalt der zu untersuchenden Funktionen.
Hier ist uns nur die Bestimmung eines Punktes auf der Maximumsfunktion für beliebige p >= 4
und t >= p-1 möglich. Dieser Wert liefert jedoch in jedem Fall eine Schranke l* für den A_tc-Wert,
die noch immer eine deutliche Verbesserung gegenüber der naïven Schranke aus dem einfachen
Blockmodell darstellt. Mit Hilfe der ermittelten Schranken können wir nun beispielsweise die
hohe Effizienz der von Hedayat und Yang (2005) vorgestellten Designs nachweisen.
Im Falle zirkulärer Modelle stellt sich die Situation sehr ähnlich dar. Für viele Kombinationen
von t und p können wir scharfe Schranken für das Atc-Kriterium bestimmen, bei einigen anderen
ist dies aufgrund der komplexen Gestalt der zu untersuchenden Funktionen nicht möglich.
Gegenüber dem nicht-zirkulären Modell können wir allerdings für einige wenige Kombinationen
von p und t sogar Konstruktionsvorschläge für optimale Designs auf Basis der durch die
Kushner-Methode gewonnenen Erkenntnisse liefern.
1. Kushner, H. B. (1997). Optimal repreated measurements designs: The linear optimality
equations. Annals of Statistics, 25(6):2328-2344.
2. Hedayat, A. S. und M. Yang (2005). Optimal and efficient crossover designs for comparing
test treatments with a control. Annals of Statistics, 33(2):915-943.
Description
Table of contents
Keywords
Cross-over design, Optimaler Versuchsplan, Carryover-Effekt, Kushner-Methode