Das fQ-System

Abstract

Für univariate stetige Zufallsvariablen kommt vor allem im Rahmen der nichtparametrischen Statistik der Dichte­Quantilfunktion fQ(x)=f(F Aussagen herangezogen. In der Praxis ist man jedoch mit dem Problem konfrontiert, dass die Schätzung der fQ­Funktion aufgrund von empirischen Daten mit der bisher verwendeten Methode der Kernschätzung lediglich zu einer nichtparametrischen Darstellung von fQ(x) führt, die weitere parametrische Untersuchungen erschwert. Eine Lösung für dieses Problem stellt das hier vorgestellte fQ­System FQ dar, mit dem ein mehrparametrisches System von unimodalen Verteilungen definiert wird, wobei hier zur charakterisierenden Darstellung gerade die fQ­Funktion herangezogen wird. In der Arbeit werden zunächst im theoretischen Teil die grundsätzliche Eigenschaften des fQ­Systems (z. B. die Existenz von Momenten) hergeleitet und zugleich Algorithmen zur Lösung der numerischen Probleme bei der Darstellung der Quantil­ und Verteilungsfunktion vorgestellt. Die Vorstellung von Ordnungsbegriffen, Metriken und Kennmaßen auf FQ sowie ein ausführliches Kapitel über die Schätzmethode für die fQ­Parameter beschließen dieses Kapitel. Im zweiten Teil der Arbeit werden anhand einiger Beispiele folgende Anwendungen des fQ­Systems vorgestellt: Approximation unimodaler Verteilungen, Erwartungswerte von Ordnungsstatistiken, L­Schätzer mit dem fQ­System, Dichteschätzungen unimodaler Verteilungen. Im einem abschließenden Abschnitt sind Anmerkungen zu weiteren Anwendungen zu finden.