Lehrstuhl IV: Analysis, Stochastik
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Item Limit theorems for multipower variations of Lévy driven and fractional-Lévy-motion driven processes(2019) Pessik, Andre; Woerner, Jeannette; Dehling, HeroldDer wesentliche Fokus dieser Arbeit liegt auf der Herleitung von Grenzwertsätzen für die Multipower Variationen Lévy-getriebener Prozesse. Die Lévy-getriebenen Prozesse besitzen unter anderem unendlich teilbare Randverteilungen und eine nach belieben modifizierbare Korrelationsstruktur, weswegen sie sich zur Modellierung in vielen Gebieten (z.B. Finance) eignen. Ferner bildet die Klasse dieser Prozesse eine Verallgemeinerung der fraktionalen Brownschen Bewegung und sie umfasst Prozesse, die keine Gauß-Prozesse sind und die daher mit anderen Beweismethoden zu handhaben sind. Die Multipower Variationen, die eine Verallgemeinerung des Konzeptes der Powervariationen bilden, werden zum Beispiel in stochastischen Volatilitätsmodellen als Schätzer für die Volatilität verwendet. Ferner können Multipower Variationen zur Zerlegung von Prozessen in einen Kontinuierlichen-Anteil sowie einen Sprung-Anteil genutzt werden. Im Rahmen dieser Arbeit werden für geeignet normierte Multipower Variationen Lévy-getriebener Prozesse drei Typen von Grenzwertsätzen mit drei grundsätzlich verschiedenen Grenzobjekten hergeleitet, wobei der Typ des Grenzwertsatzes von der Sprungaktivität des treibenden Lévy Prozesses, den Ordnungen der Differenzenfilter, der Größe der Powerparameter und der Regularität der Kernfunktionen abhängt. Der erste Typ ist ein Grenzwertsatz bezüglich stabiler Konvergenz in Verteilung einer Konvergenzart zwischen der stochastischen Konvergenz und der Konvergenz in Verteilung. Das zugehörige Grenzobjekt ist eine unendlich teilbare Zufallsvariable, die sich aus den Sprüngen des treibenden Lévy Prozesses sowie einer Folge von Zufallsvariablen, welche auf einer Folge von unabhängigen Gleichverteilungen basiert, zusammensetzt Der zweite und dritte Typ sind verallgemeinerte Gesetze der großen Zahlen. Im zweiten Typ ist der treibende Lévy Prozess ein symmetrischer α-stabiler Prozess und die zugehörige passend normierte Multipower Variation konvergiert stochastisch gegen den Erwartungswert einer stetig-transformierten fraktionalen Lévy Bewegung, die von dem zugrunde liegendem Lévy Prozess angetrieben wird. Im letzten Typ, werden sowohl fast sichere als auch L¹ Konvergenz nachgewiesen und für beide Konvergenzarten werden Konvergenzgeschwindigkeiten hergeleitet, die bisher auch im Falle der Powervariationen nicht bekannt waren. Ferner können hier die Lévy-getriebenen Prozesse, in der betrachteten Multipower Variation, von verschiedenen Lévy Prozesse angetrieben werden. Das entsprechende Grenzobjekt ist eine Zufallsvariable, die auf den zeitlichen pfadweise Ableitungen der betrachteten Lévy-getriebenen Prozesse basiert. Des Weiteren werden in dieser Arbeit die unter Typ 1 und Typ 3 aufgeführten Resultate auf Prozesse, die von einer fraktionalen Lévy Bewegung angetrieben werden, erweitert.Item Estimation of stopping times for some stopped random processes(2019) Schulmann, Viktor; Voit, Michael; Woerner, JeannetteDie Dissertation beschäftigt sich mit dem folgenden Problem: Sei X ein bekannter stochastischer Prozess und T eine unbekannte von X unabhängige Stoppzeit. Das Ziel ist es, auf Grundlage einer Stichprobe von X zur Zeit T die Verteilung von T zurückzugewinnen. Insbesondere sollen nichtparametrische Schätzer für die Dichte f von T konstruiert werden. Belomestny und Schoenmakers lösten dieses statistische Problem in zwei Artikeln aus 2015 und 2016 für die Fälle, wo X entweder eine Brownsche Bewegung oder ein Lévy-Prozess ist. In der vorliegenden Arbeit werden zunächst ihre Resultate bezüglich der Brownschen Bewegung auf selbstähnliche Prozesse verallgemeinert. Ein besonderer Fokus liegt auf Bessel-Prozessen. Als Folge ergibt sich eine Verallgemeinerung der Resultate aus Belomestny und Schoenmakers (2015) auf die mehrdimensionale Brownsche Bewegung. Dies wird durch das Betrachten der euklidischen Norm einer mehrdimensionalen Brownschen Bewegung erreicht, wodurch das Problem auf den Fall eines Bessel-Prozesses zurückgeführt wird. Dieser Prozess ist eindimensional und kann ähnlich wie der Fall einer eindimensionalen Brownschen Bewegung behandelt werden. In einem zweiten Schritt werden sogenannte Sturm-Liouville-Prozesse betrachtet. Diese Prozesse verallgemeinern den Begriff eines Bessel-Prozesses und entstehen häufig aus Normen von anderen mehrdimensionalen Prozessen. Dadurch eignen sie sich besonders zum Modellieren von Teilchenbewegungen in bestimmten physikalischen Experimenten. Darüber hinaus weisen sie eine zu Lévy-Prozessen ähnliche Struktur auf und können durch die für diesen Fall zur Verfügung stehenden Methoden behandelt werden. Die Arbeit ist im Groben wie folgt gegliedert: In einem vorbereitenden Kapitel wird die sogenannte Mellin-Transformierte eingeführt. Diese bildet das mathematische Hauptwerkzeug für die gesamte Arbeit. Unter Benutzung dieser Transformierten werden Methoden zur Konstruktion von nichtparametrischen Schätzern von f für die verschiedenen zugrunde liegenden Prozesse entwickelt. Anschließend werden die statistischen Eigenschaften dieser Schätzer untersucht. Unter Anderem wird die Konsistenz der zuvor konstruierten Schätzer bewiesen und es werden ihre optimalen Konvergenzraten bestimmt. Des Weiteren wird die asymptotische Normalität des Schätzers im Falle eines Bessel-Prozesses gezeigt. Möglichkeiten zur Konstruktion von adaptiven Schätzern werden kurz erläutert und ihre Leistungsfähigkeiten durch Simulationen im Bessel-Fall verglichen.Item Oszillierende Ornstein-Uhlenbeck Prozesse und Modellierung von Elektrizitätspreisen(2016) Kobe, Daniel; Woerner, Jeannette; Müller, GernotDiese Arbeit beschäftigt sich mit sogenannten oszillierenden Ornstein-Uhlenbeck Prozessen. Diese neuartigen, stationären Prozesse gehören zu der Klasse "zeitstetiger Moving-Average Prozesse". Die Eigenschaften der Prozesse motivieren uns zur Konstruktion eines neuen Spotpreismodells für Elektrizitätspreise. So treten in den Preiskurven der Strombörsen sehr hohe oder niedrige Preise oft nur sehr kurz auf. Die schnelle Rückkehr zu einem durchschnittlichen Niveau wird als "mean reverting-Effekt" bezeichnet. Bei Elektrizitätspreisen tritt dieser Effekt insofern auf, dass die Preise schnell zu einem oszillierenden, saisonalen Trend zurückkehren. In der bisherigen Fachliteratur werden die Preisdaten daher vor der stochastischen Modellierung durch eine deterministische Trend-Funktion bereinigt. Ein Ziel der Konstruktion eines neues Modell ist es, dem Problem der eindeutigen Identi fizierbarkeit dieser Trend-Funktion zu begegnen und auf die Verwendung einer solchen zu verzichten. Die Dynamiken von oszillierenden Ornstein-Uhlenbeck Prozessen zeigen, dass sich der gewünschte "mean-reverting-Effekt" modellieren lässt. So zeigt sich, dass der Trend eines klassischen Ornstein-Uhlenbeck Prozesses wie gewünscht durch einen zufälligen, oszillierender Prozess ersetzt wird. Aber auch das periodische, abklingende Verhalten der Abhängigkeitsstruktur der Spotpreise in Form der empirischen Autokorrelationsfunktion kann durch die analytische Autokorrelationsfunktion des Modells reproduziert werden. Ferner können die Prozesse dazu genutzt werden, Sprünge in den Preiskurven zu modellieren. Am Ende des Abschnitt zeigt sich, dass sich für zwei mögliche Derivate eine explizite Preisformel zur Bewertung auf Basis des Modells herleiten lässt. Im zweiten Teil der Arbeit richtet sich der Blick auf die statistische Kalibrierung oszillierender Ornstein-Uhlenbeck Prozesse. Zur Konstruktion von Schätzern für die Parameter wird die sogenannte Momentenmethode vorgeschlagen. Um die Konsistenz der resultierenden Schätzer zu gewährleisten, wird die Ergodizität der Prozesse gezeigt. Die asymptotische Normalität der Schätzer ergibt sich noch nicht aus den zentralen Grenzwertsätzen von Cohen und Lindner (2014). Dies motiviert uns zum Beweis einer Verallgemeinerung, welche für zeitstetige Moving Average und insbesondere oszillierende Ornstein-Uhlenbeck Prozesse genutzt werden kann. Im letzten Teil der Arbeit approximieren wir auf Grundlage von Beobachtungen der Prozesse den sogenannten "treibenden Lévy-Prozess". Hierzu stehen unterschiedliche Beobachtungssituationen im Fokus. Wir untersuchen jeweils einen Schätzer für den Erwartungswert des Lévy-Prozesses. Es stellt sich heraus, dass dieser erwartungstreu, stark konsistent und asymptotisch normal ist. Unter hochfrequenten Beobachtungen gelingt es darüber hinaus, eine Approximation des Lévy-Prozesses zu gewinnen, die in einem gewissen Sinne gegen den tatsächlichen Lévy-Prozess konvergiert, wenn das Beobachtungsintervall vergrößert und die Beobachtungsabst ände verfeinert werden. Auf Grundlage des Resultats lässt sich zeigen, dass auch die empirische Varianz der Approximationen einen schwach konsistenten Schätzer für die Varianz des Lévy-Prozesses darstellt. Abschließend zeigt eine Simulationsstudie, dass die konstruierten Schätzer in unterschiedlichen Situationen sehr gute Ergebnisse liefern.Item Kernel based nonparametric coefficient estimation in diffusion models(2015) Funke, Benedikt; Woerner, Jeannette H. C.; Dehling, HeroldDiese Arbeit handelt von der nichtparametrischen Schätzung von Koeffizienten in verschiedenen Diffusions-Modellen. Im ersten Teil konstruieren wir einen nichtparametrischen punktweisen Nadaraya-Watson Schätzer für die unbekannte Driftfunktion $b$ eines Sprungdiffusionsprozesses, der auf einer Approximation des infinitesimalen Erzeugers der zu Grunde liegenden Diffusion basiert. Wir leiten asymptotische Eigenschaften wie Konsistenz und asymptotische Normalität her. Dabei arbeiten wir mit Hochfrequenz-Daten, welche über einen anwachsenden Zeithorizont beobachtet werden. Weiterhin geben wir einen konsistenten Schätzer für die asymptotische Varianz der Grenzverteilung des eingeführten Dichteschätzers an, welcher für die Konstruktion praktikabler punktweiser Konfidenzintervalle benötigt wird. Anschließen betrachten wir den Fall von verrauschten Daten und nutzen den “Pre-Averaging“ Ansatz an, welcher ursprünglich von Podolskij und Vetter (2006) für die nichtparametrische Schätzung der integrierten Volatilität von Itô-Semimartingalen eingeführt wurde. Unter entsprechenden Voraussetzungen zeigen wir, dass der neue Schätzer ebenfalls asymptotisch normalverteilt ist. Das erste Kapitel schließt mit einer Betrachtung von integrierten Diffusionen ab. Hier wird, analog zu vorher, ein “Pre-Averaging“ Ansatz verfolgt, um die Driftfunktion der integrierten Diffusion zu schätzen. Im zweiten Teil der Arbeit werden verschiedene Bias-Reduzierungsmöglichkeiten untersucht. Hierfür wird zunächst eine adaptive Version des Nadaraya-Watson Schätzers für bedingte Erwartungswerte betrachtet, bei der die Bandbreite zustandsabhängig ist. Hierbei führt eine adäquate Wahl der Bandbreitenfunktion zu einer Bias-Verringerung. Danach beschäftigen wir uns hauptsächlich mit Methoden, die dem sehr bekannten “Boundary Bias“-Effekt von nichtparametrischen Schätzern, welche auf symmetrischen Kernfunktionen basieren, entgegenwirken. Konkret führen wir zwei multivariate Dichteschätzer für die gemeinsame Dichte mehrdimensionaler Zufallsvektoren ein, deren Randverteilungen einen beschränkten Träger besitzen. Diese Schätzer basieren auf nicht-negativen multiplikativen Bias-Reduzierung Techniken. Diese Schätzer werden anschließend für die komponentenweise nichtparametrische Schätzung des Driftvektors in einem von einer Brownschen Bewegung angetriebenen multivariaten Diffusionsmodell vorgeschlagen. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit dem “Boundary Bias“ Effekt nicht parametrischer Schätzer für Dichten, welche einen kompakten Träger besitzen. Hierfür bilden Copula Dichten ein kanonisches Beispiel. Basierend auf dem Satz von Sklar wird eine alternative Darstellung des bedingten Erwartungswertes hergeleitet, der im Laufe der Arbeit stets als Approximation für die Driftfunktion diente. Hierfür wird dann abschließend eine alternative Möglichkeit vorgestellt, bedingte Erwartungswerte mit Hilfe von Bernstein-Polynomen zu schätzen.Item Limit theorems of the power variation of fractional Lévy processes(2015) Glaser, Sven; Woerner, Jeannette; Voit, MichaelIn this thesis we consider the limit behaviour of the power variation of fractional Lévy processes. These processes are the generalisation of fractional Brownian motions, a class of Gaussian processes which has a certain covariance structure. They possess a moving average representation as an integral of some deterministic function with respect to a twosided Brownian motion. If the Brownian motion is replaced by a pure jump Lévy process the resulting process has the same dependence structure but its marginal distributions are determined by the Lévy process. We derive a consistency theorem for the power variation of so-called local self-similar fractional Levy processes and additionally for the power variation of integrated fractional processes which are processes given as a Riemann-Stieltjes integral with respect to a fractional Levy process. The proofs are similar to those in Gaussian models. Also we investigate in the limit distribution of the power variation of linear fractional stable motions, which are particular instances of fractional Lévy processes, where the integrator in the moving average representation is given as an a-stable Lévy process. This limit theorem is proven by reducing the proof to a Malliavin calculus based limit theorem in a Gaussian model. This is done by subordination. The limit theorem for the power variation of linear fractional stable motions then can be deduced by Fubini’s and Lebesgue’s Theorems.Item Statistical analysis for jumps in certain semimartingale models(2013-06-07) Palmes, Christian; Woerner, Jeannette H. C.; Voit, MichaelItem Limit Theorems on Hypergroups(2013-04-15) Grundmann, Waldemar; Voit, Michael; Hazod, WilfriedItem Bounded short-rate models with Ehrenfest and Jacobi processes(2010-11-09) Kaplun, Alexander; Voit, Michael; Woerner, JeannetteItem Zerlegbarkeitseigenschaften von Verteilungen auf lokalkompakten Gruppen(2010-03-31T08:14:44Z) Kosfeld, Katrin; Hazod, W.; Voit, M.Item Characterizations of limit laws of residual life time distributions by generalizations of the lack of memory property(Universität Dortmund, 2004-07-26) Saad, Ramadan; Hazod, W.; Scheffler, H.-P.Item Stetige Faltungshalbgruppen und Grenzwertsätze auf Hypergruppen(Universität Dortmund, 2004-04-06) Menges, Sonja; Hazod, W.; Heyer, H.