Schnelle Simulationsmethoden zur Lösung der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung

Abstract

Die Analyse und Optimierung heutiger optischer Übertragungssysteme erfordert effiziente Methoden zur Simulation der Signalausbreitung. Grundlage für die Ausbreitungsberechnung der optischen Signale in Glasfasern bildet die sogenannte nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLSG).Nach der Vorstellung der grundlegenden Eigenschaften des Übertragungsmediums Glasfaser und der Einführung der Ausbreitungsgleichung werden verschiedene Verfahren zur Lösung der NLSG auf ihre Effizienz untersucht. Hierbei wird zuerst ein Überblick der zur Verfügung stehenden klassischen numerischen Verfahren gegeben.Der derzeit meistverwendete Simulationsansatz, der so genannte Split-Step-Ansatz wird ausführlich behandelt. Die unterschiedlichen Varianten dieses Verfahrens werden erläutert und bewertet.Eine Sonderform diese Verfahrens, die Modellierung des linearen Split-Step-Operators durch IIR-Filter wird in einem separaten Abschnitt behandelt. Durch die Implementierung dieses Verfahrens kann eine Lösung der Modellgleichung ohne die Verwendung von aufwändigen Fourier-Transformationen erreicht werden, was den Rechenaufwand erheblich reduziert.Die Kollokations-Methode, welche ebenfalls auf dem Split-Step-Prinzip beruht, wird nachfolgend analysiert. Die Signalverläufe werden hier anhand orthogonaler Basisfunktionen entwickelt. Abhängig von der Wahl der Basisfunktionen kann die zweifache Zeitableitung in der Modellgleichung auch analytisch angegeben werden, was eine schnelle Berechnung ermöglicht. Die Wahl der Schrittweiten bildet unabhängig von der verwendeten Implementierung des Split-Step-Verfahrens die Grundlage für eine effiziente Simulation der Signalpropagation. Diese Schrittweitenverteilungen werden basierend auf unterschiedlichen Kriterien errechnet und anhand ihres Aufwands und der erzielten Berechnungsgenauigkeit beurteilt. Abschließend wird die Simulation der Signalausbreitung in optischen Glasfasern durch neuronale Netze behandelt. Neuronale Netze sind in der Lage, jeden linearen und nichtlinearen Zusammenhang nachzubilden. Diese Grundeigenschaft wird angewendet, um die nichtlineare Übertragungsfunktion der Glasfasern zu approximieren.