Statistische Eigenschaften der Multikriteriellen Optimierung mittels Wünschbarkeiten

Abstract

In der vorliegenden Dissertation werden einige statistische Eigenschaften der multikriteriellen Optimierung mittels der Derringer-Suich Wünschbarkeitsfunktionen hergeleitet und diskutiert. Ausgangspunkt der Arbeit sind grundsätzliche Überlegungen zu den Forderungen an Verfahren zur Lösung multikriterieller Optimierungsprobleme, welche aus einer Diskussion bekannter Verfahren mit ihren Vor- und Nachteilen hergeleitet werden.Es wird gezeigt, dass die Optimierung mittels Wünschbarkeiten und geometrischem Mittel die Forderung nach der Pareto-Optimalität der vorgeschlagenen Lösungen erfällt.Anstöße für eine Untersuchung der statistischen Eigenschaften des Wünschbarkeitsverfahrens ist die Analyse der aktuellen Praxis der Arbeit mit Wünschbarkeiten im Kontext der Produktoptimierung und der Versuchsplanung. Es wird aufgezeigt, dass eben diese Praxis systematische Schwächen aufweist. Die Folgen dieser Schwächen werden mittels Simulationen aufgezeigt. Als wichtige Ursache wird die Vernachlässigung des Modellierungsfehlers und der Nichtlinearität der Wünschbarkeiten identifiziert.Um das Wünschbarkeitsverfahren zu verbessern, wird die Betrachtung der Wünschbarkeiten als Zufallsvariablen vorgeschlagen. Es gelingt in der Folge, zunächst für den Fall linearer Gewichtung in den Derringer-Suich Funktionen, die exakte Verteilungsfunktion der als Zufallsvariablen aufgefassten Wünschbarkeit einzelner Zielgrößen für eine gegebene Faktoreinstellung x herzuleiten. Als Folgerung gelingt es in diesen Fällen auch, die wichtigen Größen Erwartungswert und Ausschussquote für jeweils ein einzelnes Qualitätsmerkmal zu berechnen. Als Anwendung der hergeleiteten Verteilungen werden die so genannten realistischen Wünschbarkeiten eingeführt und im Anschluss daran mittels Simulationen nachgewiesen, dass in der Praxis durch Nutzung der realistischen Wünschbarkeiten echte Verbesserungen in der erzielbaren Produktqualität nach der numerischen Optimierung erreicht werden können. Über eine Verallgemeinerung des Derringer-Suich Ansatzes auf mehr als zwei funktionale Abschnitte, die eine analoge Herleitung der zugehörigen Verteilungen ermöglicht und die Approximation von gewöhnlichen Derringer-Suich Funktionen mit nicht-linearer Gewichtung durch solche verallgemeinerten Wünschbarkeiten, gelingt es dann auch die Verteilungen für den nichtlinearen Fall zumindest approximativ anzugeben.Da nun alle Verteilungen der Einzelwünschbarkeiten bekannt sind, gelingt es auch, einige Verteilungsaussagen über den Wünschbarkeitsindex herzuleiten. Zum einen lässt sich die Ausschussquote des Gesamtproduktes angeben, zum anderen gelingt es nachzuweisen, dass das Wünschbarkeitsverfahren bei Anwendung der realistischen Wünschbarkeiten unter praxisnahen Annahmen mit der Zahl der Zielgrößen sehr gut skaliert.

In this thesis some statistical properties of multi-criteria optimization using Derringer-Suich desirability function are derived and discussed.Work starts from fundamental considerations about requirements to algorithms for multi-criteria optimization, which are derived from a discussion of the properties of existing algorithms. It is shown, that optimization with desirabilities using the geometric mean as index function fulfill the main requirement, namely the pareto-optimality of proposed solutions.The investigation of statistical properties got its momentum from analyzing current practice of using desirabilities for the case of product optimization and experimental design. It is shown, that current practice has some systematic shortcomings. Simulations show the consequences of these shortcomings. The ignorance of the modeling error and nonlinearity of desirabilities is identified as the most important source for these shortcomings.To improve the optimization with desirabilities it is proposed to understand them as random variates. For the case of linear weighting in the Derringer-Suich functions the exact distribution function of the random variate desirability for a given factor setting x for one-dimensional targets is calculated. As a consequence expected value and failure rate for a single target can be derived in this case. The derived distributions are applied to define so-called realistic desirabilities, which are used to shown in simulations, that improvements in overall product quality can be achieved using these realistic desirabilities instead of current practice.Using a generalization of the Derringer-Suich approach to more than two segments and afterwards calculating the distribution function for the more general case the distribution of Derringer-Suich desirabilities in the case of non-linear weighting could be approximated.Because the distributions of all desirabilities are known now, it is possible to derive some properties of the distribution of the geometric mean. On one hand the overall failure rate of the product can be calculated, on the other hand it was possible to show, that using realistic desirabilities leads to an algorithm which scales very well with the number of targets under realistic assumptions for the optimization problem.