Parameterschätzung in Regressionsmodellen mit räumlich korrelierten Störgrößen

Abstract

In vielen Datensätzen stehen die Merkmalsträger in einer festen räumlichen Beziehung zueinander. Das ist beispielsweise in der Ökologie, der Epidemiologie oder auch im Bergbau der Fall. Die Merkmalsträger sind dann bestimmte Gebiete, in denen etwa Schadstoffgehalte, die Häufigkeit von Erkrankungen oder auch die Konzentration von Rohstoffen gemessen werden. Es liegt auf der Hand, dass diese Messungen in benachbarten Gebieten nicht unabhängig voneinander sind. So können Luftschadstoffe in einem Gebiet durch den Wind leicht in benachbarte Gebiete gelangen und Krankheiten können sich durch Ansteckung ausbreiten. Auch die Konzentrationen von Rohstoffen im Boden benachbarter Gebiete sind nicht unabhängig - sie hängen oft von den gleichen geologischen Konstellationen ab. Bei der Modellierung solcher Abhängigkeiten ist ein wesentlicher Unterschied zu Zeitreihendaten zu berücksichtigen. Wie schon Whittle (1954) feststellt, ist bei Zeitreihen die Richtung der Abhängigkeit klar: Werte aus der Vergangenheit beeinflussen möglicherweise zukünftige Beobachtungen, aber niemals umgekehrt. Im Gegensatz dazu bestehen bei räumlich angeordneten Daten potentielle Abhängigkeiten in alle Richtungen. Diese Arbeit betrachtet ein Modell räumlich korrelierter Beobachtungen. Dabei setzt sich eine Beobachtung aus einer Linearkombination der Beobachtungen in benachbarten Gebieten sowie einem gebietsspezifischen Term zusammen. Ein räumlicher Korrelationsparameter steuert die Stärke der Abhängigkeit zwischen den Gebieten. Dieser Parameter kann nach der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden, wobei meistens eine Normalverteilung der Beobachtungen angenommen wird. Da dieser Schätzer keine geschlossene Darstellung besitzt, müssen zur Berechnung numerische Optimierungsverfahren verwendet werden. Insbesondere bei großen Datensätzen können diese jedoch instabil sein. Als Alternative schlagen Kelejian und Prucha (1999) einen Schätzer nach verallge meinerter Momentenmethode vor. In den allermeisten Anwendungen werden für die einzelnen Gebiete verschiedene Erwartungswerte zugelassen, deren Abhängigkeit von Kovariablen in einem Regressionsmodell geschätzt wird. Die räumliche Korrelation überträgt sich dann auf die Störterme einer solchen Regressionsbeziehung. Der Schätzer nach verallgemeinerter Momentenmethode verwendet theoretische Momente der Störgrößen und setzt diese den empirischen Momenten gleich. Da die Störgrößen jedoch nicht beobachtbar sind, müssen dabei die empirischen Momente der Regressionsresiduen verwendet werden. Obwohl der Unterschied zwischen Störgrö´ßen und Residuen für wachsenden Stichprobenumfang verschwindet, gibt es für jeden endlichen Stichprobenumfang sehr wohl Unterschiede. Darum schlägt diese Arbeit eine Modifikation des Schätzers nach verallgemeinerter Momentenmethode vor. Da die empirischen Momente nur für die Residuen vorliegen, werden die theoretischen Momente auch für die Residuen berechnet. Die Arbeit ist folgenderma¼en strukturiert: Das nächste Kapitel stellt das lineare Regressionsmodell mit den oben beschriebenen räumlich korrelierten Störgrößen vor. Das dritte Kapitel behandelt die Parameterschätzung nach verallgemeinerter Momentenmethode. Nach einer kurzen Darstellung des Schätzers aus Kelejian und Prucha (1999) präsentiert dieses Kapitel den modifizierten Schätzer sowie den Beweis seiner Konsistenz. Das folgende Kapitel 4 überträgt die Modifikation des Schätzers nach verallgemeinerter Momentenmethode auf den Maximum-Likelihood-Schätzer. Kapitel 5 diskutiert einige Erweiterungen der Schätzprozeduren, etwa auf nichtlineare Regres sionen sowie verallgemeinerte Kleinst-Quadrate-Schätzung. Eine Simulationsstudie in Kapitel 6 vergleicht die finiten Eigenschaften des modifizierten Schätzers mit denen des ursprünglichen Schätzers für verschiedene Stichprobenumfänge. Das siebte Kapitel wendet den modifizierten Schätzer auf einen Datensatz zur Arbeitslosigkeit in Deutschland an. Hier zeigt sich, dass die Modellierung räumlicher Korrelationen nicht auf die zu Beginn genannten Bereiche wie Ökologie oder Epidemiologie beschränkt ist. Auch verschiedene demographische Gruppen, die aus Kriterien wie Alter, Geschlecht oder Bildungsniveau gebildet werden, können als räumlich korreliert aufgefasst werden. Das letzte Kapitel schließlich fasst die Ergebnisse zusammen undnennt einige Ansatzpunkte für weitere Überlegungen.