Dynamics and interaction of magnons in the two dimensional Heisenberg antiferromagnet

Abstract

In this thesis the elementary excitations of the spin-1=2 Heisenberg antiferromagnet on the square lattice are studied. This fundamental model is a paradigmatic example for long range ordered quantum phases and the spontaneous breaking of a continuous symmetry in condensed matter. The elementary excitations at long wavelengths are well understood by quantized spin waves, i.e., magnons, which are the gapless Goldstone bosons of the broken SU(2) symmetry. However, recent findings reveal an anomalous energy dip at short wavelengths, which cannot be explained by the conventional spin wave theory. The nature of spin waves at short wavelengths remains unclear to this day. A central aim of this thesis is the derivation of an effective magnon description for the square lattice antiferromagnet which is quantitatively valid for all length scales. For this purpose, the method of continuous unitary transformations (CUT) is extended to its use for gapless excitations. CUT methods provide a powerful tool for the derivation of effective quasi-particle descriptions by means of flow equations. However, typical approaches are truncated in real space restricting their scope of application to gapped quantum phases. In order to circumvent these limitations a CUT approach in momentum space is developed. The scaling dimension of operator terms is established as a suitable truncation criterion for gapless quasi-particles. Moreover, a diagrammatic representation of operator terms is introduced which simplifies the derivation and interpretation of flow equations in momentum space. The developed approach is used to transform the Heisenberg Hamiltonian into an effective Hamiltonian which conserves the number of magnons. In addition, effective observables required for the theoretical description of inelastic neutron scattering are derived. The initial magnon operators before the transformation are defined by the Dyson-Maleev representation which leads to a superficially non-hermitian Hamiltonian. As a result, the transformation constitutes a continuous similarity transformation (CST). This formalism enables the formulation of spin wave interactions by means of quartic boson operators. A crucial step of the transformation is the proper renormalization of the spin wave interaction which is achieved by a selfsimilar CST for scaling dimension d = 2. The resulting effective magnon description is consistent at all length scales. In particular, the magnon dispersion exhibits an energy dip at short wavelengths which is in quantitative agreement with recent numerical and experimental data. Further analysis of the spectral properties indicates a strong attraction between spin waves giving rise to a resonance in the longitudinal two-magnon channel. This resonance can be interpreted as the amplitude or Higgs mode of the continuously broken SU(2) symmetry with finite lifetime. The origin of the anomalous dispersion is ascribed to a scattering between the Higgs resonance and single magnon states. The theoretical results are directly compared with experimental data obtained by inelastic neutron scattering and various numerical results which support this view. The quantitative agreement between the effective spin wave approach and numerous numerical and experimental findings shows that magnons are a valid description of the elementary excitations at all length scales. Therefore, this thesis provides a final settlement of the question about the nature of the elementary excitations in the square lattice quantum antiferromagnet.

In dieser Arbeit werden die elementaren Anregung des antiferromagnetischen spin-1=2 Heisenbergmodells auf dem Quadratgitter untersucht. Dieses fundamentale Modell ist ein paradigmatisches Beispiel für langreichweitig geordnete Quantenphasen und das Auftreten von spontan gebrochenen kontinuierlichen Symmetrien in kondensierter Materie. Für lange Wellenlängen können seine elementaren Anregungen in Form von quantisierten Spinwellen, auch Magnonen genannt, beschrieben werden. Dabei handelt es sich um die lückenlosen Goldstonebosonen der spontan gebrochenen SU(2) Symmetrie. Aktuelle Untersuchungen deuten auf eine Energieabsenkung bei kurzen Wellenlängen hin, welche mithilfe der konventionellen Spinwellentheorie nicht erfasst werden kann. Bis heute ist die Natur kurzwelliger Magnonen nicht geklärt. Ein wesentliches Ziel dieser Arbeit ist es die Eigenschaften der Magnonen in einem physikalisch quantitativen Gesamtbild wiederzugeben. Zu diesem Zweck wird die Methode der kontinuierlichen unitären Transformationen (CUT) für die Anwendung auf lückenlose Anregungen in langreichweitig geordneten Quantenphasen erweitert. Die CUT Methode ermöglicht die Herleitung effektiver Quasiteilchenbeschreibungen mithilfe sogenannter Flussgleichungen. Typische Anwendung erfordern jedoch eine Trunkierung im Ortsraum, was ihren Anwendungsbereich auf lückenbehaftete Quantenphasen beschränkt. Um diese Einschränkungen zu umgehen wird eine CUT Methode für den Einsatz im Imulsraum entwickelt. Die Skalierungsdimension von Operatortermen kann dabei als geeignetes Trunkierungskriterium für lückenlose Quasiteilchen etabliert werden. Des Weiteren wird eine diagrammatische Representation für Operatorterme eingeführt, welche die Herleitung und Interpretation von Flussgleichungen im Impulsraum deutlich vereinfacht. Die entwickelte Methode wird dann verwendet um den Hamiltonoperator des Heisenbergmodells in einen effektiven Hamiltoperator zu überführen. In der effektiven Darstellung ist die Zahl der Magnonen eine Erhaltungsgröße. Darüberhinaus werden auch die Observablen für die Beschreibung inelastischer Neutronstreuung transformiert. Vor der Transformation werden die Magnonen im Rahmen des Dyson-Maleev Darstellung behandelt. In dieser Darstellung verliert der Hamiltonoperator seine Hermitizität und muss daher mithilfe einer kontinuierlichen Ähnlichkeitstransformation (CST) überführt werden. Dieser Formalismus ermöglicht es die Wechselwirkung zwischen Spinwellen nur mithilfe von quartischen Bosonoperatoren zu beschreiben. Ein wesentlicher Punkt ist dabei die korrekte Renormierung der Magnonwechselwirkung. Diese wird technisch mithilfe einer selbstähnlichen CST für Skalierungsdimension d = 2 umgesetzt. Das resultierende effektive Modell ergibt ein konsistentes physikalisches Gesamtbild. Insbesondere findet sich eine Energieabsenkung der Magnondispersion für kurzeWellenlängen, welche mit aktuellen numerischen und experimentellen Daten quantitativ übereinstimmt.Weitere Untersuchungen der spektralen Eigenschaften weisen auf eine deutliche Anziehung zwischen Spinwellen hin, welche sich in Form einer Resonanz im longitudinalen Kanal zweier Magnonen manifestiert. Diese Resonanz kann als Amplitudenmode bzw. Higgsmode der spontan gebrochenen SU(2) Symmetrie mit endlicher Lebensdauer gedeutet werden. Die Energieabsenkung kurzwelliger Magnonen lässt sich auf Streuprozesse zwischen einzelnen Magnonen und der Higgsresonanz zurückführen. Ein direkter Vergleich der theoretischen Ergebnisse mit den experimentallen Daten aus inelastischer Neutronstreuung bestätigt diese Interpretation. Die quantitative Übereinstimmung des effektiven Spinwellenmodells mit einer Vielzahl von numerischen und experimentallen Ergebnissen zeigt, dass die elementaren Anregungung für alle Wellenlängen tatsächlich in Form von Magnonen beschrieben werden können. Die Natur der elementaren Anregungen im Heisenbergantiferromagneten auf dem Quadratgitter ist somit abschließend geklärt.