Magnetische Billards, Finsler-Billards und das Spektrum eines Billards

Abstract

Betrachtet werden zweidimensionale, einfach-zusammenhängende Billards mit glattem Rand, deren zugrunde liegender Fluss einem magnetischen oder Finsler-geodätischen Fluss entspricht. Der magnetische Fluss ist der Euler-Lagrange-Fluss der magnetischen Lagrangefunktion und kann unter Fixierung des Energieniveaus und einer Beschränkung des Vektorpotential auch als Finsler-Fluss aufgefasst werden. Ein magnetisches Billard ist dann als nicht-reversibles Finsler-Billard interpretierbar. Unter geeigneten Voraussetzungen ist die Billardabbildung eines magnetischen Billards eine monotone Twistabbildung mit - je nach vorliegendem Energieniveau - der magnetischen Länge bzw. der magnetischen Energie als Erzeugendenfunktion. Eine analoge Aussage erhält man für reversible Finsler-Billards mit der Finsler-Länge als Erzeugendenfunktion. Daher sind Resultate der Aubry-Mather-Theorie übertragbar, und es lassen sich Existenzaussagen zu periodischen Bahnen, sowie minimalen Bahnen zu beliebigen Rotationszahlen im Twistintervall, ableiten. Für die untersuchten Billards lässt sich dann in Verallgemeinerung zu klassischen Billards das jeweilige Spektrum und markierte Spektrum einführen. Letzteres ist durch die minimale Wirkung beschreibbar, so dass die minimalen Bahnen zentrale Objekte zur Untersuchung des Billards und Formulierung weiterer Aussagen darstellen.