Configurations of sublattices and Dirichlet-Voronoi cells of periodic point sets

Abstract

Ausgehend vom Gitter-Quantisierungs-Problem behandelt die vorliegende Arbeit zwei geometrisch motivierte Fragestellungen. Zunächst wird die Anzahl der ähnlichen Untergitter eines Gitters L, d.h. Untergitter des Gitters L welche durch Anwendung einer Isometrie und Streckung aus L hervorgehen, zu gegebenem Streckfaktor untersucht. Für ganzzahlige Gitter werden diese unter geeigneten Voraussetzungen (z.B. bei geraden unimodularen Gittern) mit maximal total isotropen Untermoduln regulärer quadratischer Moduln über Restklassenringen der ganzen Zahlen in Bijektion gesetzt. Es wird eine Klassifikation dieser eben genannten Untermoduln, sogar über beliebigen endlichen Ringen, erreicht. Für endliche Hauptidealringe wird diese Klassifikation zur Bestimmung der Anzahlen maximal total isotroper Untergitter benutzt, insbesondere liefert dies in gewissen Fällen die Anzahlen ähnlicher Untergitter ganzzahliger Gitter. Als wichtiges Beispiel dient die Bestimmung der Anzahlen ähnlicher Untergitter des Wurzelgitters E_8. Im Weiteren ermöglicht Voronoi’s zweite Reduktionstheorie, welche quadratische Formen nach ihrer Delone-Zerlegung auf einer zuvor fixierten Punktmenge partitioniert, eine stückweise explizite Berechnung der bekannten Integral-Formel für die Quantisierungs-Konstante, welche auf einen Quotienten eines Polynoms, in den Einträgen einer symmetrischen Matrix, mit einer skalierten Potenz der Determinante dieser Matrix führt. Dies erlaubt es das Quantisierungs-Problem als endliche Sammlung polynomieller Optimierungsprobleme aufzufassen und mit dieser, zumindest stückweise, expliziten Darstellung wird in Dimension 4 schließlich für einige prominente Gitter geklärt ob diese lokale Minima für das Gitter-Quantisierungs-Problem sind.