Lehrstuhl II: Geometrie
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Item Configurations of sublattices and Dirichlet-Voronoi cells of periodic point sets(2017) Zimmermann, Marc Christian; Scharlau, Rudolf; Schürmann, AchillAusgehend vom Gitter-Quantisierungs-Problem behandelt die vorliegende Arbeit zwei geometrisch motivierte Fragestellungen. Zunächst wird die Anzahl der ähnlichen Untergitter eines Gitters L, d.h. Untergitter des Gitters L welche durch Anwendung einer Isometrie und Streckung aus L hervorgehen, zu gegebenem Streckfaktor untersucht. Für ganzzahlige Gitter werden diese unter geeigneten Voraussetzungen (z.B. bei geraden unimodularen Gittern) mit maximal total isotropen Untermoduln regulärer quadratischer Moduln über Restklassenringen der ganzen Zahlen in Bijektion gesetzt. Es wird eine Klassifikation dieser eben genannten Untermoduln, sogar über beliebigen endlichen Ringen, erreicht. Für endliche Hauptidealringe wird diese Klassifikation zur Bestimmung der Anzahlen maximal total isotroper Untergitter benutzt, insbesondere liefert dies in gewissen Fällen die Anzahlen ähnlicher Untergitter ganzzahliger Gitter. Als wichtiges Beispiel dient die Bestimmung der Anzahlen ähnlicher Untergitter des Wurzelgitters E_8. Im Weiteren ermöglicht Voronoi’s zweite Reduktionstheorie, welche quadratische Formen nach ihrer Delone-Zerlegung auf einer zuvor fixierten Punktmenge partitioniert, eine stückweise explizite Berechnung der bekannten Integral-Formel für die Quantisierungs-Konstante, welche auf einen Quotienten eines Polynoms, in den Einträgen einer symmetrischen Matrix, mit einer skalierten Potenz der Determinante dieser Matrix führt. Dies erlaubt es das Quantisierungs-Problem als endliche Sammlung polynomieller Optimierungsprobleme aufzufassen und mit dieser, zumindest stückweise, expliziten Darstellung wird in Dimension 4 schließlich für einige prominente Gitter geklärt ob diese lokale Minima für das Gitter-Quantisierungs-Problem sind.Item Reflective Lorentzian lattices of signature (5, 1)(2017) Turkalj, Ivica; Scharlau, Rudolf; Hoffmann, DetlevItem Lokale Eigenschaften von Gittern mit einem Automorphismus(2016-01) Höppner, Stefan; Scharlau, Rudolf; Hoffmann, DetlevIn dieser Arbeit werden Z-Gitter mit einem fest gewählten Automorphismus der Ordnung m untersucht. Dazu wird im ersten Kapitel zunächst ein Zusammenhang zu hermiteschen Gittern über dem Gruppenring hergeleitet. Anschließend wird damit unter der Voraussetzung, dass p nicht m teilt, eine p-modulare Zerlegung konstruiert, bei der jede Komponente invariant unter dem Automorphismus ist. Abschließend wird der Fall, bei dem p die Ordnung m teilt, untersucht. Für p gleich m wird als Hauptresultat der Arbeit eine orthogonale Zerlegung von hermiteschen ZpG-Gittern konstruiert und es werden die auftretenden Modultypen der orthogonal unzerlegbaren Summanden bestimmt. Im zweiten Abschnitt werden hermitesche Gitter mit einer Struktur über dem Ganzheitsring eines Kreisteilungskörpers betrachtet und die Invarianten ihrer Spurgitter berechnet. Diese Ergebnisse erlauben den Ausschluss von Gittern mit einem Automorphismus eines vorgegeben Typs im gesamten Geschlecht. Abschließend wird die Idealgitterkonstruktion von Bayer-Fluckiger modifiziert um gezielt Gitter mit einem Automorphismus in einem vorgegeben Geschlecht zu konstruieren.Item Graphs with given diameter and a coloring problem(1977) Wegner, GerdItem Nicht-Existenz und Konstruktion extremaler Gitter(2015) Jürgens, Michael; Jürgens, Michael; Scharlau, Rudolf; Schulze-Pillot, RainerExtremale Gitter im Sinne von Quebbemann sind in vielen Fällen interessante Kandidaten für dichte oder sogar dichteste Kugelpackungen wie etwa das Coxeter-Todd-Gitter in Dimension 12 oder auch das Barnes-Wall-Gitter in Dimension 16. In dieser Arbeit wird zunächst die bestehende Theorie zu extremalen Gittern kompakt zusammengefasst und um einige Resultate wie beispielsweise der Nicht-Negativität der Fourier-Koeffizienten der extremalen Modulform in verschiedenen Fällen ergänzt. Als ein erstes Hauptresultat der Arbeit folgt der Beweis der Nicht-Existenz eines extremalen Gitters der Dimension 24 und Determinante 7^12. Im Weiteren werden im Wesentlichen mit Hilfe von algebraischen Zahlkörpern einige bislang nicht bekannte extremale Gitter konstruiert. Insbesondere ist hier ein extremales Gitter in Dimension 32 der Determinante 2^16 und einem Automorphismus der Ordnung 7 zu nennen, welches den bestehenden Packungsdichte-Rekord einstellt. Die entwickelten Methoden erlauben zudem die Klassifikation extremaler Gitter mit gewissen Zusatzeigenschaften wie etwa einem Automorphismus von Primzahlordnung oder einer Struktur über einem Kreisteilungskörper.Item Eine Maßformel für hermitesche ZG-Gitter(2013-02-19) Hoffmann, Björn; Scharlau, Rudolf; Hoffmann, Detlev W.Item Aufspannende Kreise und Wege in polytopalen Graphen(2010-09-30) Knorr, Peter; Zamfirescu, Tudor; Scharlau, RudolfItem Voronoizellen diskreter Punktmengen(2008-11-20T09:58:06Z) Voigt, Ina Kirsten; Scharlau, R.; Lutz, F.In dieser Arbeit wird eine Charakterisierung derjenigen diskreten Punktmengen angegeben, für die gilt, dass alle Voronoizellen Polyeder (bzw. Polytope) sind. Dazu wird der Begriff einer lokal endlich erzeugten diskreten Punktmenge eingeführt. Desweiteren wird der Rand der konvexen Hülle einer diskreten Punktmenge näher untersucht und geometrisch beschrieben.Item Acute triangulations(2006-07-21T10:38:26Z) Yuan, Liping; Zamfirescu, Tudor; Itoh, Jin-ichiItem Vorstellungen zur linearen Algebra(2006-02-27T13:03:30Z) Fischer, Astrid; Scharlau, R.; Hefendehl-Hebeker, L.Die Vorlesung "Lineare Algebra", die Studierende des Lehramts Gymnasium im ersten Semester hören, gilt aufgrund ihres hohen Abstraktionsgrades als große Herausforderung. Die Arbeit fragt nach Vorstellungen, die Studierende zu zentralen Begriffen der linearen Algebra bilden, und nach Strategien, die sie verwenden, um ihre internen Repräsentationen fortzuentwickeln und zum Lösen von mathematischen Problemen einzusetzen. Diese Fragestellungen werden mit Hilfe von zwei qualitativen empirischen Studien untersucht. Die erste besteht aus drei Fallstudien mit ausführlichen Interviewgesprächen, die zweite analysiert schriftliche Äußerungen von 39 Studierenden. Die persönlichen Vorstellungen, die aufgrund der Datenanlysen bei den Studierenden vermutet werden, werden sodann auf ihre Tragfähigkeit für das weitere Lernen der linearen Algebra hin untersucht. Aus einigen von ihnen werden Grundvorstellungen abgeleitet, die zentralen Begriffen der linearen Algebra zugrunde liegen. Die individuellen Strategien und Vorstellungen der Studierenden geben zudem Anhaltspunkte für eine differenzierte Sicht von epistemologischen Schwierigkeiten, die mit diesen Grundvorstellungen verbunden sind.Item Gewichts- und Distanzzähler von Codes und Kugelpackungen(Universität Dortmund, 2005-05-06) Bowert, Frank; Scharlau, R.; Skoruppa, G.In dieser Arbeit werden Average-Thetareihen zu periodischen Punktmengen und Distanzzähler (nichtlinearer) binärer Codes von höherem Grad definiert. Sie verallgemeinern die bekannten Zähler/Reihen vom Grad 1 bzw. die Gewichtszähler/Thetareihen im linearen Fall. Es werden Eigenschaften (u.a. MacWilliams-Transformierte/Thetatransformationsformel) dieser Zähler/Reihen nachgewiesen. Die Average-Thetareihen zu geeigneten periodischen Punktmengen sind Modulformen; die zugehörige Modulgruppe wird in der Arbeit bestimmt, und es wird gezeigt, dass die wohlbekannteBeziehung zwischen den Gewichtszählern linearer Codes und den Thetareihen der aus den Codes konstuierten Gittern sich auf die Distanzzähler und Average-Thetareihen überträgt. Desweiteren wird eine Klasse von binären Codes bestimmt, deren Grad 2 Distanzzähler invariant unter MacWilliams-Transformation sind. Im letzten Kapitel der Arbeit wird die Anwendung dieser Konzepte auf ein spezielles Packungsproblem im 16-dimensionalen Raum diskutiert, und es werden periodische Punktmengen mit einer bestimmten Abstandsverteilung vom Nullpunkt konstruiert.Item Algorithmische Konstruktionen von Gittern(Universität Dortmund, 2004-04-15) Hemkemeier, Boris; Scharlau, A.Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht ein Klassifikationsprojekt aus dem Gebiet der ganzzahligen Gitter. Ausgehend von Knesers Nachbarmethode wurde das Computerprogramm tn entwickelt, mit dem eine Vielzahl vollständiger Geschlechtern ganzzahliger Gitter klassifiziert wurden. Hauptergebnisse sind die Klassifikation modularer Gitter in Dimensionen bis zu 14 mit den Stufen 3,5,7 und 11. Wir stellen einen Meta-Algorithmus zur Berechnung einer Gitterbasis aus einem großen Erzeugendensystem vor. Sowohl exakte Worst-Case Abschätzungen als auch praktische Versuche zeigen die Vorteile des Verfahrens gegenüber den bisher verwendeten Methoden. Es wird ein effektiver Algorithmus präsentiert, der eine Zerlegung eines Gitters in eine direkte Summe paarweise orthogonaler Untergitter berechnet. Ein weiteres Ergebnis ist ein Überdeckungssatz für minimale Erzeugendensysteme. Ein minimales Erzeugendensystem eines Gitters vom Rank n mit Minimum M und Erzeugenden mit durch B beschränkter Norm besteht aus höchtens n + log_2(n!(B/M)^n) Vektoren. Es werden Invarianten eines Gitters L beschrieben und berechnet wie die Spektralkoeffizienten der diskreten Fouriertransformierten der Längenfunktion auf L/2L. Die numerische Behandlung des zwiten normalisierten Trägheitsmomentes von Gitterquantizern und Quantizern der Vereinigung von Gitternebenklassen wird diskutiert.Item Farthest points on convex surfaces(Universität Dortmund, 2003-02-17) Vilcu, Costin; Zamfirescu, Tudor; Hangan, T.Item Nichtperiodische Pflasterungen mit ganzzahligem Inflationsfaktor(Universität Dortmund, 2002-10-22) Frettlöh, Dirk; Danzer, Ludwig; Scharlau, RudolfFamilies ('species') of - mainly nonperiodic - inflation tilings in euclidean spaces of arbitrary dimension are examined. We are mainly interested in two properties: (1) finite local complexity, and (2) representation as model sets (i.e., by a 'cut-and-project-scheme'), in the case of species with integer inflation factor.For (1) four sufficient conditions are shown, which all can be read off the prototiles of the tilings resp. the first inflation of the prototiles. In this context the comparision of tile-types by their translation classes proves essential. In the plane case we give an especially simple condition: If the lengths of all pairwise parallel edges in the protoset are commensurable, then ALL primitive inflation tilings using this protoset are of finite local complexity. For (2) the relation to Delone multi sets and lattice substitution systems are established. This done, one can use a theorem of J.-Y. Lee and R.V. Moody, which answers the question essentially in general. But in the case where the considered point set can NOT be obtained as a model set, their algorithm will not terminate. We give two sufficient conditions which gives an answer in finite time in the latter case.Moreover we give a collection of many terms and facts, which are important in the context of nonperiodic tilings, an examination of nonprimitive inflation tilings and a detailled description of the construction of the half hex tiling as a model set with 2-adic, twodimensional internal space.