Das Lösen kombinatorischer Anzahlbestimmungsprobleme

Abstract

Kardinale Anzahlbestimmungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Grundschulmathematik. So lernen Kinder im Verlauf der ersten Schuljahre Anzahlen von Objekten zu bestimmen, ohne sie einzeln abzählen zu müssen. Der Anzahlbestimmung im Rahmen kombinatorischer Aufgabenstellungen wurde hingegen bislang in der Grundschule und weitestgehend auch in der Sekundarstufe eine eher stiefmütterliche Rolle zugewiesen. Die geringe unterrichtliche Beachtung spiegelt sich in den Kompetenzen der Lernenden wider. So zeigen Untersuchungen von Sekundarstufenschülern und Studierenden, dass diese erhebliche Schwierigkeiten bei der Lösung kombinatorischer Problemstellungen haben. Angenommen wird, dass die Ursachen für viele der Schwierigkeiten in einem fehlenden Verständnis der kombinatorischen Konzepte und Operationen liegen. Um ein gesichertes mathematisches Verständnis zu erwerben, wird im Sinne aktueller sozialkonstruktivistischer Lehr- und Lerntheorien angenommen, dass ein spiralförmiger Aufbau dieser Kompetenzen notwendig und somit die Thematisierung kombinatorischer Anzahlbestimmungsprobleme in der Grundschule unter propädeutischen Gesichtspunkten besonders bedeutsam ist. Zudem bedarf es im Sinne der heute vorherrschenden psychologisch-genetischen Auffassung vom Lehren und Lernen seitens der Lehrenden einer Kenntnis informellen Vorgehensweisen von Lernenden sowie über die Zusammenhänge zwischen den Denk- und Vorgehensweisen der Lernenden und den fachlichen Konzepten. Diesbezüglich liegen bislang für kombinatorische Anzahlbestimmungsprobleme jedoch keine ausreichenden Informationen vor.

Im Mittelpunkt der vorliegenden Dissertation steht daher die Frage, wie Lernende der Primarstufe vor der Thematisierung im Unterricht kombinatorische Anzahlbestimmungsprobleme lösen und in welcher Beziehung die Vorgehensweisen und Denkwege der Lernenden zu den fachlichen Vorgehensweisen und Konzepten stehen.

Diesbezüglich wurden in einem iterativen Untersuchungsdesign die Vorgehensweisen und Denkwege von Lernenden der dritten Klasse bei der Anzahlbestimmung im Kontext kombinatorischer Aufgabenstellungen in klinischen Interviews erhoben und qualitativ ausgewertet. Erstmals wurden dabei gezielt die Vorgehensweisen von Lernenden beim Lösen von Anzahlbestimmungsproblemen zu verschiedenen kombinatorischen Figuren (Kombinationen mit und ohne Wiederholung und Variationen ohne Wiederholung) vergleichend betrachtet sowie anschließend in Beziehung zu den fachlichen Vorgehensweisen und Konzepten gesetzt.

Die Ergebnisse der empirischen Studie zeigen den Einfluss der kombinatorischen Figur und des Aufgabenkontextes auf die Anzahlbestimmungsstrategien von Drittklässlern sowie die besondere Rolle von Strukturierungen in den Anzahlbestimmungsprozessen. Zugleich wurde darauf aufbauend ein Konzept zur Beschreibung der Strukturierungsstrategien der Lernenden bei verschiedenen kombinatorischen Figuren erarbeitet. Die Ergebnisse verdeutlichen auch, welche nicht zu unterschätzenden Kompetenzen Lernende bereits in der Grundschule in Hinblick auf das Lösen kombinatorischer Anzahlbestimmungsprobleme mitbringen. Diese beziehen sich insbesondere auf verschiedene Strukturierungsstrategien, die geeignet sind die Figurenmenge vollzählig zu erstellen und auf Zählstrategien, die enge Bezüge zu den fachlichen Zählstrategien aufweisen. So verwenden eine Reihe von Lernenden additive und multiplikative Strategien, sowie Kompensationsstrategien zur Anzahlbestimmung. Zudem greifen sie bei der Bearbeitung zueinander analoger und isomorpher Aufgabenstellungen auf rekursive Strategien zurück oder ermitteln die Anzahl der Lösungen indirekt.