Deformation of ferrofluid-filled elastic capsules and swelling elastic disks as microswimmers

Abstract

This thesis includes two parts presenting the results on the research on the deformation of ferrofluid-filled elastic capsules in external magnetic fields as well as on the possibility of the usage of swelling elastic disks as microswimmers by triggering hysteretic shape transformations. The first part is a primarily theoretical study of deformations and shape transitions of ferrofluid capsules induced by homogeneous and inhomogeneous magnetic fields. The thin elastic shell is modelled by a non-linear shallow shell theory resulting in a system of non-linear shape equations. The properties of the ferrofluid are represented in these equations by the magnetic surface force density that is derived from the magnetic stress tensor by Rosensweig. The elastic part and the magnetic part form a coupled self-consistent problem that is solved iteratively. With that model, two different general cases are investigated. The objective of the first investigation are linearly magnetizable ferrofluid capsules in homogeneous external fields. These capsules are elongated into spheroidal shapes at first and show a transition into shapes with conical tips for stronger magnetic fields and higher susceptibilities. This behavior is shown to be completely analogous to the behavior of simple ferrofluid drops. After that, the model is tested in a comparison with the deformation behavior of real ferrofluid-filled alginate capsules in an experiment with an inhomogeneous external field. All parameters of the capsules and the magnetic field are determined from the experiment. With the surface Poisson ratio as a fit parameter, a good agreement between the numerics and the experiment can be observed. The Poisson ratio of the given alginate capsules is found to be surprisingly close to one. In the second part, the primary objective is to prove the concept that a flat elastic disk can be used as a microswimmer when a periodical swelling process triggers a shape transformation. Therefore, the disk is modelled by a simple spring mesh with an additional bending energy. A swelling pattern changing the springs’ rest length is defined and the total energy of the disk is minimized. This leads to either elliptic dome-like shapes or hyperbolic saddle-like shapes for sufficiently strong swelling. This transition into a curved shape shows numerical pseudohysteretic effects that can be expanded to a real hysteresis by adding an additional potential energy. These hysteretic effects are used to break the time invariance of the deformation and bypass the scallop theorem and allow the creation of a microswimmer. Since the swimmer is assumed to operate a low Reynolds numbers, where time invariant deformations do not cause any effective propulsion, these hysteretic effects are they key component in the swimming mechanism. In order to model the hydrodynamic interaction with a surrounding fluid, a Rotne-Prager model for the interaction between small spheres, that model the disk, is used. We find that the elliptic shape is able to move into the direction of its opening, while the hyperbolic shape cannot swim due to its symmetry. In addition, a simplified five-sphere model is introduced in order to imitate the deformation behavior of the disk and finally, the fluid velocity fields of the disk and the simplified model are analyzed.

Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei separaten Teilen. Diese handeln zum einen von der Deformation mit einem Ferrofluid gefüllter elastischer Kapseln in externen Magnetfeldern, zum anderen wird die Möglichkeit untersucht, eine anschwellende elastische Scheibe als Mikroschwimmer zu nutzen. Der erste Teil ist eine primär numerische Untersuchung von Ferrofluidkapseln in Magnetfeldern. Die dünne elastische Schale eben jener Kapseln wird durch eine nichtlineare Theorie dünner Schalen modelliert. Zentraler Bestandteil dieses Modells ist ein System nichtlinearer Formgleichungen. Das Ferrofluid wird mit Hilfe der magnetischen Kraftdichte an der Oberfläche des Fluids an die Formgleichungen gekoppelt. Diese Kraftdichte basiert dabei auf dem magnetischen Spannungstensor von Rosensweig. Der magnetische und der elastische Teil formen dabei gemeinsam ein gekoppeltes selbstkonsistentes Problem, das iterativ gelöst wird. Mit diesem numerischen Modell werden zwei verschiedene Situationen untersucht. Zuerst werden linear magnetisierbare Kapseln in einem homogenen externen Feld betrachtet. Die Kapseln werden bei steigender Feldstärke gestreckt und nehmen die Form eines Ellipsoiden an. Bei starken Magnetfeldern und hinreichend großen Suszeptibilitäten kann ein Übergang in eine stark gestreckte Form mit konischen Spitzen beobachtet werden, wie er auch von einfachen Ferrofluidtropfen bekannt ist. Anschließend wird das Modell einem Praxistest unterzogen, indem ein experimenteller Vergleich mit der Deformation echter Alginatkapseln in einem inhomogenen Feld durchgeführt wird. Dazu werden sämtliche Parameter der Kapseln im Experiment bestimmt, die Poissonzahl wird in der Numerik jedoch als freier Fitparameter genutzt. Damit ergibt sich eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment, sowohl bei der Kapselform als auch in der Aussage, dass die Poissonzahl dieses Alginatsystems ungewöhnlich groß, nämlich beinahe eins, ist. Der zweite Teil dieser Arbeit ist primär eine Machbarkeitsstudie, bei der es darum geht zu zeigen, dass eine flache elastische Scheibe durch periodisches An- und Abschwellen als Mikroschwimmer eingesetzt werden kann. Dazu wird die Elastizität der Scheibe durch ein einfaches Federgitter mit einer zusätzlichen Biegeenergie modelliert. Beim Anschwellen wird die Ruhelänge der Federn verändert und durch eine Minimierung der Gesamtenergie wird die daraus resultierende Form der Scheibe berechnet. Bei hinreichend starkem Anschwellen oder Schrumpfen findet ein Übergang in eine gekrümmte Form statt. Dies ist entweder eine elliptische Kuppelform oder ein hyperbolischer Sattel. Dabei treten numerische Pseudohystereseeffekte auf, die durch eine zusätzliche potentielle Energie auch um einen echten Hysteresebereich erweitert werden können. Durch diese Hystereseffekte wird die Zeitumkehrinvarianz der Deformation gebrochen, was die Nutzung als Mikroschwimmer ermöglicht. Da der Schwimmer im Regime kleiner Reynoldszahlen angesiedelt ist, können zeitumkehrinvariante Deformationen keinen effektiven Vortrieb erzeugen und die Hysterese stellt eine Schlüsselkomponente im Antrieb des Schwimmers dar. Die hydrodynamische Wechselwirkung mit dem Fluid wird anschließend durch eine Rotne-Prager-Wechselwirkung simuliert, bei der die eigentlicheWechselwirkung zwischen kleinen Kugeln stattfindet, die die Scheibe nachbilden. Im Ergebnis gibt es eine effektive Schwimmbewegung der elliptischen Form, während die eigene Symmetrie eine Bewegung des Sattels verhindert. Anschließend wird ein vereinfachtes 5-Kugel-Modell eingeführt, um den Schwimmmechanismus der Scheibe nachzubilden. Zum Abschluss folgt eine Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes des Fluids in der direkten Umgebung der Scheibe und des vereinfachten Modelschwimmers.