Subnormale Lösungen der vierten Painlevéschen Differentialgleichung
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Date
2015
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Abstract
Die Lösungen der vierten Painlevéschen Differentialgleichung
2ww^''=(w^' )^2+3w^4+8zw^3+4(z^2-α) w^2+2β
sind entweder rationale Funktionen oder in der komplexen Ebene transzendente meromorphe Funktionen endlicher Ordnung. Betrachtet werden die Lösungen deren Zählfunktion n(r,w)=O(r^2) genügt, die sogenannten subnormalen Lösungen. Mit Hilfe der Hermite-Weber Differentialgleichung
w^'= -2±(w^2+2zw-2α)
lassen sich unter dem Begriff Hermite-Weber Lösung alle Lösungen zusammenfassen, die sich aus Lösungen der Hermite-Weber Differentialgleiung unter sukzessiver Anwendung von Bäcklundtransformationen ergeben. Es gelingt8 die Zählfunktion signifikant zu reduzieren, so dass man nach endlich vielen Anwendungen geeigneter Bäcklundtransformationen in einer Hermite-Weber Differentialgleichung landet. Da dies für alle subnormalen Lösungen gelingt, folgt als Hauptresultat, dass jede subnormale Lösung der vierten Painlevéschen Differentialgleichung eine Hermite-Weber Lösung ist.
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Keywords
Normale Familien, Nevanlinna-Theorie, Painlevésche Transzendente, Re-Skalierungsmethode, Bäcklund-Transformationen, Hermite-Weber Lösung