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Connecting characterizations of equivalence of expressions: design research in Grade 5 by bridging graphical and symbolic representations
(2022-08-09) Tondorf, Alexandra; Prediger, Susanne
One typical challenge in algebra education is that many students justify the equivalence of expressions only by referring to transformation rules that they perceive as arbitrary without being able to justify these rules. A good algebraic understanding involves connecting the transformation rules to other characterizations of equivalence of expressions (e.g., description equivalence that both expressions describe the same situation or figure). In order to overcome this disconnection even before variables are introduced, a design research study was conducted in Grade 5 to design and investigate an early algebra learning environment to establish stronger connections between different mental models and representations of equivalence of expressions. The qualitative analysis of design experiments with 14 fifth graders revealed deep insights into complexities of connecting representations. It confirmed that many students first relate the representations in ways that are too superficial without establishing deep connections. Analyzing successful students’ processes helped to identify an additional characterization that can support students in bridging the connection between other characterizations, which we call restructuring equivalence. By including learning opportunities for restructuring equivalence, students can be supported to compare expressions in graphical and symbolic representation simultaneously and dynamically. The design research study disentangles the complex requirements for realizing the design principle of connecting multiple representations, which should be of relevance beyond the specific concept of equivalence and applicable to other mathematical topics.
Editorial: Single-blind or double-blind review processes?
(2022-07-22) Prediger, Susanne; Wagner, David
Verstehensangebote von YouTube-Erklärvideos
(2021-10-13) Korntreff, Stefan; Prediger, Susanne
Öffentlich zugängliche Erklärvideos werden immer häufiger genutzt. In Frage gestellt wurde jedoch ihre fachdidaktische Qualität, vor allem inwiefern sie hinreichende Lerngelegenheiten zum Aufbau von konzeptuellem Verständnis für tiefgreifende mathematische Konzepte wie Variable und Term anbieten. Zur theoretisch fundierten und forschungsbasierten Klärung dieser Frage schlägt der Artikel eine fachdidaktische Konzeptualisierung und gegenstandsbezogene Operationalisierung für Verstehensangebote von Erklärvideos vor: als Vorkommen, Auffalten und Vernetzen relevanter Verstehenselemente der Konzepte. Für eine solche Operationalisierung sind die relevanten Verstehenselemente der elementaren Algebra zunächst stoffdidaktisch zu spezifizieren. Die empirische Studie berichtet aus der gegenstandsbezogenen qualitativen Analyse von 50 YouTube-Videos, ausgewählt von den meistgeschauten Kanälen. Die Analyse zeigt, dass alle zu erwartenden Verstehenselemente in den Erklärvideos vorkommen, wenn auch mit unterschiedlichen Priorisierungen (z. B. wenig Unbestimmten-Deutung). Explizit aufgefaltet werden Variablendeutungen im Zusammenhang mit Termen und Gleichungen selten, das Vernetzungspotential ist sehr heterogen. Einige positive Ausnahmen geben Aufschluss darüber, wie Auffalten und Vernetzen umgesetzt und wie hohe Erklärqualität sprachlich realisiert werden kann. Die vorgeschlagene Konzeptualisierung und Operationalisierung der Verstehensangebote von Erklärvideos über die gegenstandsspezifische Analyse der vorkommenden, aufgefalteten und vernetzten Verstehenselemente kann auch für andere fachliche Konzepte adaptiert werden.
Designing and enacting instruction that enhances language for mathematics learning
(2021-02-17) Erath, Kirstin; Ingram, Jenni; Moschkovich, Judit; Prediger, Susanne
After four decades of research and development on language in mathematics classrooms, there is consensus that enhancing language is crucial for promoting students’ mathematics learning. After briefly sketching the theoretical contexts for work on this topic, in this paper we present six design principles for instruction that enhances language for mathematics learning. We then review the research that provides an empirical foundation for these principles, (a) concerning the design of learning environments to enhance language for mathematics learning and (b) on teaching practices (including teacher moves and classroom norms) involved in the enactment of those designed learning environments. Without claiming completeness, this review of the state of development and research shows that some aspects of design and instruction that enhance language for mathematics learning have been well researched, whereas research gaps for other aspects persist.
Towards a research base for textbooks as teacher support: the case of engaging students in active knowledge organization in the KOSIMA project
(2021-03-22) Prediger, Susanne; Barzel, Bärbel; Hußmann, Stephan; Leuders, Timo
Engaging students in processes of mathematizing and active knowledge organization (instead of telling and rehearsing ready-made mathematics) is a key demand for high quality mathematics instruction. Although many mathematically rich context problems have been designed and published in textbooks, their impact on regular mathematics classrooms remains limited, as teachers face challenges in shaping and enacting the important phase of knowledge organization. The 15-year project KOSIMA presented in this paper was aimed at supporting teachers in really enhancing these processes by means of a textbook for Grades 5–10. The paper provides an overview of different studies conducted during the project in order to show how the project developed a research base for the support of teachers. The paper also shows that different research approaches need to be combined to establish an appropriate research base: In iterative design research cycles of topic-specific didactical design research, learning environments were designed and investigated with the aim of understanding the obstacles encountered in implementing the desired processes. In this paper, we focus on an example of one particular obstacle, namely, teachers’ need of support in engaging students in processes of active knowledge organization. This obstacle was overcome by developing new types of tasks for active knowledge organization. The theoretical outcome of the design research resulted in two hypotheses for improving relevant features of the design of these tasks, which were tested in two controlled trials. Finally, a longitudinal field study of 312 students gave first indications that the classes that worked with the textbook had significantly higher learning gains than classes using other textbooks. In sum, we can show that textbooks can support changes in classroom practices when the obstacles that occur for both teachers and students are carefully investigated and treated.
Selbstberichtete Praktiken von Lehrkräften im inklusiven Mathematikunterricht – Eine Interviewstudie
(2020-08-13) Prediger, Susanne; Buró, Sarah
Wie Lehrkräfte ihren inklusiven Mathematikunterricht ausgestalten, wird im Modell der gegenstandsbezogenen Expertise dadurch charakterisiert, welche Praktiken sie zur Bewältigung typischer didaktischer Anforderungssituationen nutzen: Lernvoraussetzungen identifizieren und diagnostizieren, differenzieren, fördern und gemeinsames Lernen anregen. Die qualitative Interviewstudie untersucht die selbstberichteten Praktiken der Lehrkräfte bzgl. der zugrundeliegenden inklusionsbezogenen Orientierungen und Wahrnehmungs- und Denkkategorien. Interviewt werden 17 Lehrkräfte, die ihre Praktiken beschreiben und reflektieren, und zwar alle zur gleichen Unterrichtseinheit „Prozente verstehen“ (Klasse 7). Die qualitative Analyse rekonstruiert fünf typische Leitkategorien: soziale Teilhabe, Beschäftigung, Aufgabenbewältigung, inhaltliche Teilhabe und stufengerechte Lernzuwächse, zwischen denen die Lehrkräfte wechseln. Die Analyse zeigt, wie sich diese Leitkategorien in den Praktiken genauer ausprägen.
Capturing teaching practices in language-responsive mathematics classrooms extending the TRU framework “teaching for robust understanding” to L-TRU
(2020-09-04) Prediger, Susanne; Neugebauer, Philipp
Supporting language in mathematics classrooms requires both curriculum material that follows language-responsive design principles and teaching practices that enact these principles with high instructional quality. This paper presents the analytic framework L-TRU, which was developed to assess language-responsive teaching practices quantitatively. The L-TRU framework draws upon Schoenfeld’s teaching for robust understanding (TRU) framework by adapting its five dimensions to language-responsive classrooms: Mathematical Richness, Cognitive Demand, Equitable Access, Agency, and Use of Student Contributions. It is extended by two further dimensions, namely, Discursive Demand and Connecting Registers. The adapted and extended L-TRU rating scheme was applied to 41 video-recorded lessons of 26 teachers who all used the same language-responsive curriculum material on percentages. The qualitative insights gained from selected transcripts reveal that the dimensions indeed capture important distinctions in valid ways. The analysis of interrater reliability and correlations confirms that distinct dimensions are captured with reliability. The quantitative overview of the ratings of 497 episodes shows that in spite of the shared curriculum material, a large variety of instructional practices were enacted: Consistently high quality was found in the dimensions Cognitive Demand and Equitable Access and a medium quality in Connecting Registers. The dimensions Agency, Discursive Demand and Use of Contributions show the largest variance among teachers, with Discursive Demand separating most. These findings empirically substantiate an important research tool for quantitatively capturing teaching practices with respect to their general mathematics instruction quality and language-responsive quality.
Facilitators’ adaptation practices of curriculum material resources for professional development courses
(2019-07-01) Leufer, Nikola; Prediger, Susanne; Mahns, Peter; Kortenkamp, Ulrich
Background In STEM-innovation implementation processes, PD curriculum materials are designed to support facilitators in conducting professional development. However, little is known about the facilitators’ practices in adapting PD materials. This study transfers frameworks from teachers’ curriculum adaptation to facilitators and qualitatively investigates adaptation practices of 11 expert facilitators and their underlying individual perspectives in group discussion and interviews. In the study, a framework was developed for capturing facilitators’ adaptation practices. Results The qualitative analysis shows that all so-called materialized adaptation actions (follow, omit, modify, sort, and create) are conducted on different grain sizes of PD material chunks and with various underlying perspectives. Additionally, thematic adaptation actions mainly refer to facilitators’ ways of dealing with examples and theoretical constructs. Dealing with examples often involves shifts in forms of knowledge, e.g., when facilitators situate a theoretical construct in concrete classroom practices. The article contributes to theory generation on facilitators’ adaptation practices, especially by introducing and illuminating the distinction between materialized and thematic adaptation actions. Conclusion The empirical insights of various underlying perspectives call for practical consequences for the design of PD curriculum material: To ensure that adaptation practices retain or improve quality, the structure of PD curriculum material must preserve the minimal adequate grain size (better the thematic block than the single slide) and the need for shifts in the forms of addressed knowledge.
Erfolg in Mathematikklausuren ingenieurwissenschaftlicher Studiengänge unter besonderer Berücksichtigung prozeduralen Wissens
(2016) Altieri, Mike; Prediger, Susanne; Hochmuth, Reinhard
Im Zentrum der Dissertation steht die Untersuchung der (Hinter-)Gründe von Erfolg und Misserfolg in Mathematikklausuren am Beispiel der Gruppe der Studierenden aus den ingenieurwissenschaftlichen Studiengängen. Die übergreifende Fragestellung der Arbeit lautet dementsprechend: „Welche Hintergründe haben Erfolg und Misserfolg in Mathematikklausuren der ingenieurwissenschaftlichen Studiengänge?“ Die Ergebnisse der Arbeit können wie folgt zusammengefasst werden: Im aktuellen Hochschulsystem der Ingenieurmathematik gilt prozedurales Wissen als stärkster Prädiktor für Klausurerfolg und Klausurleistung. Schwächen in der Kalkülkenntnis und Kalkülfertigkeit können zeitlich stabil sein, was Klausurerfolg dauerhaft verhindern könnte. Das prozedurale Wissen prozedural schwacher Studierender nimmt im Gegensatz zu den anderen Leistungsgruppen nach dem zweiten Semester ab. Zu der Gruppe der prozedural schwachen Studierenden zählen überproportional häufig Studierende, die einen Grundkurs in Mathematik besuchten. In der Gruppe der prozedural starken Studierenden sind überproportional häufig Studierende mit einem Leistungskurs Mathematik vertreten, sowie Studierende, welche die Veranstaltung wiederholen. Die höchste Prognosegüte für Klausurerfolg und -leistung weisen fachspezifische Faktoren auf, gefolgt von den allgemein kognitiven Faktoren. Affektive Faktoren spielen hier kaum eine Rolle. Insgesamt leistet die Arbeit damit einen Beitrag zur Grundlagenforschung im diagnostischen Bereich der Hochschuldidaktik. Aus den Resultaten lassen sich Konsequenzen zur Gestaltung von Unterstützungsangeboten sowie Anknüpfungspunkte für weitere Forschungsvorhaben ableiten.
Grundvorstellungen und Vorgehensweisen bei der Subtraktion
(2014) Wessel, Jan; Selter, Christoph; Wartha, Sebastian
Jan Wessel analysiert die Subtraktion zunächst aus theoretischer Perspektive. Dabei arbeitet er die Rest- und die Unterschiedsvorstellung als die Grundvorstellungen der Subtraktion heraus. Darauf aufbauend geht er in einem empirischen Teil der Frage nach, inwiefern Schülerinnen und Schüler des ersten Schuljahres Unterschiedsvorstellungen und darauf aufbauende Vorgehensweisen zur Lösung von Subtraktionsproblemen nutzen. Auf der Grundlage einer Interviewstudie kann er zeigen, dass der Gebrauch der Grundvorstellungen in einem Spektrum zwischen operationaler und relationaler Realisierung stattfindet und die Kinder zur Lösung von gegebenen Subtraktionsproblemen sowohl explizite als auch implizite Grundvorstellungswechsel vollziehen.
Das Lösen kombinatorischer Anzahlbestimmungsprobleme
(2014-09-03) Höveler, Karina; Selter, Christoph; Scherer, Petra
Kardinale Anzahlbestimmungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Grundschulmathematik. So lernen Kinder im Verlauf der ersten Schuljahre Anzahlen von Objekten zu bestimmen, ohne sie einzeln abzählen zu müssen. Der Anzahlbestimmung im Rahmen kombinatorischer Aufgabenstellungen wurde hingegen bislang in der Grundschule und weitestgehend auch in der Sekundarstufe eine eher stiefmütterliche Rolle zugewiesen. Die geringe unterrichtliche Beachtung spiegelt sich in den Kompetenzen der Lernenden wider. So zeigen Untersuchungen von Sekundarstufenschülern und Studierenden, dass diese erhebliche Schwierigkeiten bei der Lösung kombinatorischer Problemstellungen haben. Angenommen wird, dass die Ursachen für viele der Schwierigkeiten in einem fehlenden Verständnis der kombinatorischen Konzepte und Operationen liegen. Um ein gesichertes mathematisches Verständnis zu erwerben, wird im Sinne aktueller sozialkonstruktivistischer Lehr- und Lerntheorien angenommen, dass ein spiralförmiger Aufbau dieser Kompetenzen notwendig und somit die Thematisierung kombinatorischer Anzahlbestimmungsprobleme in der Grundschule unter propädeutischen Gesichtspunkten besonders bedeutsam ist. Zudem bedarf es im Sinne der heute vorherrschenden psychologisch-genetischen Auffassung vom Lehren und Lernen seitens der Lehrenden einer Kenntnis informellen Vorgehensweisen von Lernenden sowie über die Zusammenhänge zwischen den Denk- und Vorgehensweisen der Lernenden und den fachlichen Konzepten. Diesbezüglich liegen bislang für kombinatorische Anzahlbestimmungsprobleme jedoch keine ausreichenden Informationen vor. Im Mittelpunkt der vorliegenden Dissertation steht daher die Frage, wie Lernende der Primarstufe vor der Thematisierung im Unterricht kombinatorische Anzahlbestimmungsprobleme lösen und in welcher Beziehung die Vorgehensweisen und Denkwege der Lernenden zu den fachlichen Vorgehensweisen und Konzepten stehen. Diesbezüglich wurden in einem iterativen Untersuchungsdesign die Vorgehensweisen und Denkwege von Lernenden der dritten Klasse bei der Anzahlbestimmung im Kontext kombinatorischer Aufgabenstellungen in klinischen Interviews erhoben und qualitativ ausgewertet. Erstmals wurden dabei gezielt die Vorgehensweisen von Lernenden beim Lösen von Anzahlbestimmungsproblemen zu verschiedenen kombinatorischen Figuren (Kombinationen mit und ohne Wiederholung und Variationen ohne Wiederholung) vergleichend betrachtet sowie anschließend in Beziehung zu den fachlichen Vorgehensweisen und Konzepten gesetzt. Die Ergebnisse der empirischen Studie zeigen den Einfluss der kombinatorischen Figur und des Aufgabenkontextes auf die Anzahlbestimmungsstrategien von Drittklässlern sowie die besondere Rolle von Strukturierungen in den Anzahlbestimmungsprozessen. Zugleich wurde darauf aufbauend ein Konzept zur Beschreibung der Strukturierungsstrategien der Lernenden bei verschiedenen kombinatorischen Figuren erarbeitet. Die Ergebnisse verdeutlichen auch, welche nicht zu unterschätzenden Kompetenzen Lernende bereits in der Grundschule in Hinblick auf das Lösen kombinatorischer Anzahlbestimmungsprobleme mitbringen. Diese beziehen sich insbesondere auf verschiedene Strukturierungsstrategien, die geeignet sind die Figurenmenge vollzählig zu erstellen und auf Zählstrategien, die enge Bezüge zu den fachlichen Zählstrategien aufweisen. So verwenden eine Reihe von Lernenden additive und multiplikative Strategien, sowie Kompensationsstrategien zur Anzahlbestimmung. Zudem greifen sie bei der Bearbeitung zueinander analoger und isomorpher Aufgabenstellungen auf rekursive Strategien zurück oder ermitteln die Anzahl der Lösungen indirekt.
Zur Komplementbildung bei der halbschriftlichen Subtraktion
(2013-12-19) Schwätzer, Ulrich; Selter, Christoph; Wollring, Bernd
Zur Erforschung von Mathematikleistung
(2011-03-22) Büchter, Andreas; Henn, Hans-Wolfgang; Bruder, Regina
Seit Mitte der 1990er Jahre widmet sich die empirische Bildungsforschung verstärkt der quantitativen Erforschung von Mathematikleistung. Dabei werden in Deutschland relativ stabile Geschlechterunterschiede in der Mathematikleistung zugunsten männlicher Versuchspersonen festgestellt. Inhaltliche Erklärungsversuche bringen regelmäßig Raumvorstellung als möglichen Mediator für diese Geschlechterunterschiede ins Spiel, ohne dass hierfür inhaltlich passende und empirisch hinreichend abgesicherte Befunde vorliegen. Vor diesem Hintergrund ist die inhaltliche Kernfrage der vorliegenden Arbeit entstanden: „Inwieweit lassen sich Geschlechterunterschiede in der Mathematikleistung durch Geschlechterunterschiede in der Raumvorstellung erklären?“ In einer umfassenden theoretischen Studie werden zunächst aktuelle Grundlagen und Befunde der quantitativ-empirischen Erforschung von Mathematikleistung zusammengefasst und aus inhaltlicher und methodischer Perspektive diskutiert. Anschließend wird der vornehmlich durch psychologische Forschungsansätze geprägte Gegenstand Raumvorstellung in seiner historischen Entwicklung und mit aktuellen Befunden dargestellt. Auf dieser Basis wird im empirischen Teil der Arbeit zunächst ein Instrument entwickelt, mit dem Raumvorstellung ausdifferenziert und effizient erfasst werden kann. Mithilfe dieses Instruments wird der Zusammenhang von Raumvorstellung und Mathematikleistung unter besonderer Berücksichtigung etwaiger Geschlechterunterschiede untersucht. Als Instrument für die Erfassung von Mathematikleistung wird dabei die nordrhein-westfälische Lernstandserhebung in der Jahrgangsstufe 9 (LSE 9) verwendet. Die erhobenen Daten werden mit einem breiten Methodeninventar ausgewertet. Neben klassischen Verfahren der multivariaten Statistik finden vor allem ein- und mehrdimensionale Rasch-Modelle sowie Strukturgleichungsmodelle Anwendung, wobei sich die Methodenauswahl eng an der inhaltlichen Fragestellung orientiert. Mit einer inhaltlich und empirisch tragfähigen Ausdifferenzierung der beteiligten Konstrukte gelingt es, Geschlechterunterschiede in der Mathematikleistung statistisch vollständig durch entsprechende Geschlechterunterschiede in der Raumvorstellung zu erklären. Dabei spielt die Raumvorstellungskomponente mentale Rotation eine zentrale Rolle. Insgesamt zeigen die Ergebnisse der empirischen Untersuchung, dass (a) Raumvorstellung ein wesentlicher Bestandteil in Rahmenmodellen für die Erforschung von Mathematikleistung sein sollte, (b) Raumvorstellung dabei in theoretisch und empirisch abgesicherte Komponenten ausdifferenziert betrachtet werden muss und (c) mehrdimensionale Modellierungen von Mathematikleistung für mathematikdidaktische Fragestellungen in der Regel ergiebiger sind als eindimensionale Modellierungen.

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